物理學家的騷操作-量綱分析

我們知道，每個物理量都有自己所屬的量綱，在通常情況下，人們選定幾個基本的物理量的量綱作為基礎，那麼其他的物理量的量綱都由這些基本的物理量的量綱所匯出或者表示。

常用的基本物理量有如下七個：

長度、

質量、

時間、

電流、

熱力學溫度da

物質的量、

發光強度

通常人們對這些物理量會進行描述，為了有一個公共的科學語言，從而避免像通天塔故事裡面一樣大家語言不通，人們商量了一下，決定選定一些國際標準單位。於是我們就見到了下表。

基本物理量

量綱

國際標準單位名稱

中文單位名稱

長度

m（meter）

米

質量

kg（kilogram）

千克

時間

s（second）

秒

電流

A（ampere）

安

溫度

K（Kelvin）

開

物質的量

mol （mole）

摩

發光強度

cd（candela）

坎

別小看這一個分析，如果我們承認一些基本的事實，比如下面的定理。

定理 1 ：兩個物理量可以相加當且僅當其具有相同的量綱。

定理 2 ：任何物理量的量綱式都是基本量綱的冪次的單項式的形式。

那麼我們就擁有了使用基本量綱來描述物理量的本領了。

定義：設

$a_1,a_2,\dots,a_n$

是一組給定的物理量，如果存在一組不全為零的實數

$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$

，使得

$\begin{align*} a_{1}^{\alpha_{1}}a_{2}^{\alpha_{2}}\dots a_{n}^{\alpha_{n}} \end{align*} \\$

是無量綱的，則我們稱

$a_1,a_2,\dots,a_n$

是量綱相關的，否則就稱

$a_1,a_2,\dots,a_n$

是量綱無關的。

一個量是無量綱的，當且僅當其是一個常數，因此可以想象，量綱相關與線性空間的元素線性相關本質是一回事。

定義：設

$a, a_1,a_2,\dots,a_n$

是一組給定的物理量，如果存在

$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{n} \in \mathbb{R}$

，使得

$\begin{align*} \Pi=\frac{a}{a_{1}^{\alpha_{1}}a_{2}^{\alpha_{2}}\dots a_{n}^{\alpha_{n}}} \end{align*} \\$

是無量綱的，則我們稱物理量

可被物理量

$a_1,a_2,\dots,a_n$

量綱表出。

注意到上面方程在本質上就是

$\begin{align*} a=\Pi \ a_{1}^{-\alpha_{1}}a_{2}^{-\alpha_{2}}\dots a_{n}^{-\alpha_{n}} \end{align*} \\$

這也是為什麼稱物理量

可被物理量

$a_1,a_2,\dots,a_n$

量綱表出的原因。

當然，這一切都還沒有什麼神奇之處，真正的神奇是美國物理學家 Edgar Buckingham （July 8， 1867 – April 29， 1940 ）於1914 年（第一次世界大戰大打得正酣呢）發表了一個關於量綱分析的如下定理，由於 Edgar Buckingham 的論文中的無量綱量用希臘大寫字母

$\Pi$

表示，因此在1922 年美國學者 P。W。Bridgman 將其命名為 Buckingham

$\Pi$

定理。

Edgar Buckingham （July 8， 1867 – April 29， 1940 ）

定理 (Buckingham #FormatImgID_18# 定理)

：設某個物理現象中的物理量

$a_1,a_2,\dots,a_n$

的關係由如下方程

$f(a_1,a_2,\dots,a_n)=0 \\$

所刻畫，不妨設

$a_1,a_2,\dots,a_j$

是

$a_1,a_2,\dots,a_n$

中一組極大量綱無關租，則其餘的物理量

$a_{j+1},a_{j+2},\dots,a_n$

的關係式可以化成只聯絡

個無量綱量

$\Pi_1,\Pi_2,\dots,\Pi_{n-j}$

的方程

$\Phi(\Pi_1,\Pi_2,\dots,\Pi_{n-j})=0 \\$

其中

$\begin{align*} \Pi_1&=\frac{a_{j+1}}{a_{1}^{\alpha_{1}}a_{2}^{\alpha_{2}}\dots a_{j}^{\alpha_{j}}}\\ \Pi_2&=\frac{a_{j+2}}{a_{1}^{\beta_{1}}a_{2}^{\beta_{2}}\dots a_{j}^{\beta_{j}}}\\ &\vdots\\ \Pi_{n-j}&=\frac{a_n}{a_{1}^{\gamma_{1}}a_{2}^{\gamma_{2}}\dots a_{j}^{\gamma_{j}}} \end{align*} \\$

是無量綱量。

下面我們來看這個定理的精彩的妙用。

例 1。估計一人通常的走路速度。

事實上，一個人通常的走路速度與很多因素有關，這種問題丟給數學家，在嚴肅的數學家眼裡，他不算個三天三夜才怪，當然，他可能也會給出一個看起來讓人害怕的數學模型。不過在物理學家眼裡，呵呵，你不用想那麼複雜，想想走路跟什麼有關，當然跟腿長有關，於是在物理學家眼裡有了一個物理量，腿長，還跟什麼東西有關呢，仔細思考你會發現，跟重力場有關，沒有重力你當然在地上是無法行走的，不過，細緻的人當然會說還跟空氣阻力有關，還跟地面粗糙程度有關，。。。，不過物理學家才不管你所考慮的那些複雜的因素，現在他得到了三個物理量，速度

，腿長

，還有重力加速度

。

各自分析其量綱如下

$\begin{align*} [v]&=LT^{-1}\\ [l]&=L\\ [g]&=LT^{-2} \end{align*} \\$

於是物理學家開心極了，連小學生都能看到的關係是

$\begin{align*} [v]=\sqrt{[l][g]} \end{align*} \\$

於是物理學家就下斷言了，

$\begin{align*} v=\alpha\sqrt{lg} \end{align*} \\$

其中

$\alpha$

是某個實數。你還真別不服氣，下面物理學家就開始計算了，取

$\alpha=1$

，一個人的腿長通常是 1 米左右，於是

，

通常取

$9.8 ms^{-2}$

，還小數，太麻煩，乾脆取

$g=10 ms^{-2}$

，於是

$\begin{align*} v=\alpha\sqrt{lg}=\sqrt{10}ms^{-2}. \end{align*} \\$

你還別說，基本上這就是一個普通人的正常走路速度，關鍵的是物理學家這一通操作猛如虎，居然還告訴我們，如果重力加速度小的話，走路的速度是要減小的，事實，在月球上的行走還真是如此。因此不能不歎服，這真是物理學家的騷操作。

也許有人會說，這種數學模型其實是半定量的，要想完全定量還是有困難，其實不然，在得到一個半定量模型之後，結合進一的分析，大家都聽說過Sir Geoffrey Ingram Taylor 用量綱分析分析原子彈威力被 J。von Neumann 這種神一樣級別的人改進過的故事吧，如果使用方法得當，更好更精確的定量的模型就隱藏在這半定量的模型之種。

下面我們來這方面用法的一個精彩案例。

例 2 ：證明勾股定理。

我們知道，關於勾股定理的證法大約已經超過 360 種了，然而使用物理學家常用的這種量綱分析，往往別開生面，讓人驚歎。

下面我們來考慮一個直角三角形

$\Delta ABC$