司馬晟宇老師
2020-09-19
根據定義，若 （a，b∈R），則 =a－bi（a，b∈R）。共軛複數所對應的點關於實軸對稱。兩個複數：x+yi與x-yi稱為共軛複數，它們的實部相等，虛部互為相反數。在複平面上，表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱，而這一點正是“共軛”一詞的來源——兩頭牛平行地拉一部犁，它們的肩膀上要共架一個橫樑，這橫樑就叫做“軛”。如果用z表示x+yi，那麼在z字上面加個“一”就表示x-yi，或相反。
1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家的注意，包括庫默爾（1844年）、克羅內克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、喬治·皮庫克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念，例如素數，推廣至複數。
德國數學家阿甘得（1777—1855）在1806年公佈了複數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，複數也能用一個平面上的點來表示。在直角座標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，並過這兩點引平行於座標軸的直線，它們的交點C就表示複數 。象這樣，由各點都對應複數的平面叫做“複平面”，後來又稱“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實陣列 代表複數 ，並建立了複數的某些運算，使得複數的某些運算也象實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角座標法和極座標法加以綜合。統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中，並把數軸上的點與實數一一對應，擴充套件為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，並利用複數與向量之間一一對應的關係，闡述了複數的幾何加法與乘法。至此，複數理論才比較完整和系統地建立起來了。
經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討並發展了複數理論，才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不“虛”。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了複數集。
