積分原式代換不定積分尤拉

不定積分（基礎向）

由 Ricky 發表于娛樂2021-01-14

開頭：

臨近期末，今天覆習不定積分部分，為

應試

而做一個簡單的梳理，為個人行文思路的流暢略去了一些點，

不涉及偏難怪

的點，既是

梳理

，故內容都比較淺顯，大多數地方不會展開來談，很多比較特別的技巧也不會提到，點到即止，第一次寫文章，希望得到各位的指正與建議。

目錄：

一.概念

概念

積分的存在條件

二.操作

基本積分表

基本積分法

正文：

一.概念

1.

概念：

在工科生考試中，考試對積分的概念要求不高，簡單瞭解足矣，且一般而言是

結合極限考察定積分的概念

，對於這類題目往往是提出一個“1/n”，將極限轉化為定積分的求取，稍微難一些的可能會需要事先

放縮後用定積分夾逼

。

2.積分的存在條件：

一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；

若只有有限個間斷點，則定積分存在；

若有第一類間斷點或無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在；

若有震盪間斷點，原函式可能存在；

二.不定積分（重點）

1.基本積分表：

下面是基本積分表及一些常用積分的補充

2.基本積分法

兩種基本積分法概念（略）

一些需要注意的點點或感悟：

對於

湊微分

，對一些常用的微分式要熟悉，出現頻率很高的則可以考慮記住，如：

在具體題目當中

，我們往往會需要透過換元來得到熟悉的微分式，甚至較為複雜的題目需要”創造“這些式子，方便直接操作或進行組合積分。

當下階段常用的一些不定積分基本手段：

（1）.被積式中含有根式：

一般來講根式是難以直接處理的，需要進行有理化處理，下面是一些基本型別。

形如

$\sqrt{ax^2+bx+c}$

：

a。

三角代換

需要熟悉基本的三角恆等式，如：

例.

$\int1/\sqrt{x^2+x+1}dx$

$=\int1/\sqrt{(x+1/2)^2+3/4}dx$

令

$x=0.5\sqrt3tan\theta-1/2$

則原式=

$\int 1/cos\theta d\theta$

=

$ln((1-sin\theta)/(1+sin\theta))+C$

再將

$\theta$

逆代換即可

b.雙曲換元

與三角換元的效果比較類似，很多雙曲換元的題目也能使用三角換元便捷處理，該法也需要熟悉一些基本的恆等式，對雙曲函式有興趣的同學可以參考一下 @王希大佬的文章。

例.

$\int1/\sqrt{x^2+1}dx$

（x>1）

令

$x=cosh\theta$

原式=

$\int sinh\theta/\sqrt{cosh^2\theta-1}d\theta$

=

c.尤拉代換

（尤拉第一代換）若a>0:

可令

或

（尤拉第二代換）若c>0：可令

或

（尤拉第三代換）若

$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$

,其中

$\alpha，\beta$

為方程的兩個不等實根：可令

或

例.

$\int1/\sqrt{x^2-4x+3}dx$

（該題目對三種尤拉代換的要求都滿足，這裡僅給出尤拉第一代換的過程，有興趣的同學可以試試另外兩種）

令

$\sqrt{x^2-4x+3}$

=

則可得

帶入得原式

$=\int1/(t-2)dt=ln|t-2|+C$

再將t逆代換即可

形如

$\sqrt[n]{（ax+b)/(cx+d)}$

$(n\in N^+)$

：

這類題相對比較特殊，我們一般直接作

整體代換

處理，很多時候還需要與其他換元法結合進行多次換元

例.

$\int \sqrt{(1-x)/(x+2)}dx$

令

$t=\sqrt{(1-x)/(2+x)}$

得

原式

$=-\int6t^2/(t^2+1)dt$

令

$t=tan\theta$

得

原式

$=-6\int sin \theta d\theta=3sin\theta-6\theta+C$

對

$\theta$

進行逆代換即可

還有很多有理化的小技巧這裡就不展開談了

(2).一些含三角函式的積分基本方法：

a.統一”形式“，直接湊微分：

例.

$\int tan^5xsec^4xdx$

$=\int tan^5xsec^2xdtanx$

$=\int tan^5x(tan^2x+1)dtanx$

b.萬能公式：

例.

$\int1/(1+2sin\theta)dx$

令

$t=tan(\theta/2)$

原式

$=\int 4t/(t^2+1)(4-2t^2) dt$

$=1/3\int [1/(t^2+1)-1/(t^2-2)]dt^2$

再將t逆代換即可

c.分部積分：

例.

$\int e^xsinxdx$

$=\int sinxde^x$

$=sinxe^x-\int e^xdsinx$

$=sinxe^x-\int cosxde^x$

$=e^x(sinx-cosx)-\int e^xsinxdx$

移項得原式

d.和差化積：

例.

$\int cos3xcos2xdx$

$=1/2\int(cos5x+cosx)dx$

e.降冪：

例.

$\int cos^4xdx$

$=\int(1/8cos4x+1/2cos2x+3/8)dx$

f.組合積分：

例.

$\int sinx/(3sinx+4cosx)dx$

$A=\int sinx/(3sinx+4cosx)dx$

$B=\int cosx/(3sinx+4cosx)dx$

則顯然有

$3A+4B=\int1dx=x+C_1$

$3B-4A=\int(3cosx-4sinx)/(3sinx+4cosx)dx$

得

（3)比較雜的一些其他小點：

例.（“1”的妙用）

$\int 1/(sin^2xcos^2x)dx$

$=\int[(sin^2x+cos^2x)/sin^2xcos^2x)]dx$

$=\int(1/sin^2x+1/cos^2x)dx$

例.（簡化分母）

$\int sinx/(sinx+1)dx$

$=\int[1-1/(sinx+1)*（1-cosx)/(1-cosx)]dx$

$=x-\int (sec^2x-secxtanx)dx$

例.（裂項）

$\int1/(sin^2xcosx)dx$

$=\int(1/cosx+cosx/sin^2x)dx$

$=ln|tan(x/2+\pi/4)-1/sinx+C$

例.(倒代換)

$\int1/(x^{100}+x)dx$

令

得原式

$=-\int t^{98}/(1+t^{99})dt$

$=-1/99ln(t^{99}+1)+C$

再將t逆代換即可

例.("增減拆提"項---增）

$\int(x+1)/x(1+xe^x)dx$

$=\int e^x(x+1)/e^xx(1+xe^x)dx$

$=\int[1/xe^x-1/(1+xe^x)]de^x$

例.（組合積分）

$\int1/(1+x^4)dx$

$A=\int(1+x^2)/(1+x^4)dx=(1/\sqrt2)arctan((x^2-1)/\sqrt2x)+C_1$

$B=\int(x^2-1)/(1+x^4)dx=\int(1/2\sqrt2)ln|(x^2-\sqrt2x+1)/(x^2+\sqrt2x+1)|+C_2$

原式

三.小結.

（其實還有很多內容沒寫，但我碼字太慢，就到此為止吧）

先觀察被積式的形式，可以考慮的方面有：有根式看能不能消去或換掉；如果有明顯能湊微分的式子可以先把微分寫上；原式或代換後的式子能不能裂項；有“反對冪三指“看分部積分放不方便，哦，對了，

分部積分的一般推廣——列表積分法

是需要了解的，最好比較熟練，本來也很容易掌握……

題練多了對一些式子是會有感覺的，我們大家應該都有過這樣的經歷——看見一道比較難的題，不會積，但卻隱隱能猜到它答案的形式，這個時候我們可以試著用

待定係數法

去做。。。。。

不定積分要+C。

對於一些“帶n的積分”可以考慮

分部積分求遞推式。

..........

不定積分的小技巧太多了，在學習的過程中，每個人都有自己獨到的經驗和積累，這裡僅僅針對大一上期末進行了簡單的梳理，內容自然沒有廣度，也更談不上深度，僅僅是興致使然，突然想試著寫寫文章罷了。

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