卓裡奇在第八章第五節習題中敘述了一種簡潔證明，給出了大致的思路，分為abcdefgh八個目標，在此分享一下~在此假設讀者已知隱函式定理所描述的命題了

定義：

F^i_{y}(x,y)=(\frac{\partial F^i}{\partial y^1},...,\frac{\partial F^i}{\partial y^n})(x,y)

是矩陣

F

的第

i

行。

\blacktriangleleft

a)

如果所有的點

(x_i,y_i)(i=1,..,n)

都位於

(x_0,y_0)

的一個充分小鄰域

U=I_x^m\times I_y^n

，則由向量

F_y^i(x,y)

組成的矩陣的行列式不為零。

\begin{array}{l} \text{proof:} \end{array}

由

F

連續性可知其每個分量連續，且在

(x_0,y_0)

處的行列式不為零，故可以找到

(x_0,y_0)

的充分小鄰域，使對於任意的屬於此鄰域的點，其分量組成的行列式不為零。

\Box

b)

若對於

x\in I_x^m

，存在點

y_1,y_2\in I_y^n,s.t.F(x,y_1)=F(x,y_2)=0

，則

\forall i\in\left\{1,...,n \right\}

可以在以

(x,y_1),(x,y_2)

為端點組成的線段上找到點

(x,y_i)

，使得

F^i_y(x,y_i)(y_2-y_1)=0, \ \ \ i=1,..,n

由此，

y_1=y_2

，即如果隱函式

f:I_x^m\times I_y^n\exists

，則它是唯一的。

\text{proof:}

由中值定理

F^i(x,y_1)-F(x,y_2)=0\Rightarrow\exists y_i,s.t.F^i(x,y_i)(y_2-y_1)=0.\Box

c)

若球

B(y_0;r)\subset I_y^n，

則當

\parallel y-y_0\parallel_\mathbb{R}^n=r>0

，

F(x_0,y)\ne0

\text{proof:}

由中值定理

F^i(x_0,y)-F^i(x_0,y_0)=F^i(x_0,y)-0=\frac{\partial}{\partial y}F^i(x_0,y+\theta(y-y_0))(y-y_0)\ne0\Box

d)

\parallel F(x_0,y)\parallel^2_{\mathbb{R}^n}

連續且在球面

\parallel y-y_0\parallel^2_{\mathbb{R}^n}=r

上具有極小值

\mu

。

\text{proof}:

連續性顯然，而在緊集（此時為球面）的連續對映必然可以取到最小值

\Box

。

e)

\exists\delta>0,

當

\parallel x-x_0\parallel_{\mathbb{R}^m}<\delta

，

\parallel y-y_0\parallel_{\mathbb{R}^n}=r

時，有

\parallel F(x,y)\parallel^2_{\mathbb{R}^n}\ge\mu/2

，如果

y=y_0

，則

\parallel F(x,y)\parallel<\mu/2

。

\text{proof:}

由連續可知

\forall\varepsilon>0\exists\delta_1>0

，

\parallel x-x_0\parallel<\delta_1

\Rightarrow \parallel F(x,y_0)\parallel<\varepsilon

，

\varepsilon

取值

\mu/2

即可。

另一方面，

\forall\varepsilon/(\varepsilon+2\parallel F(x,y)\parallel)>0,\exists\delta_2>0,

\parallel x-x_0\parallel<\delta_2

\Rightarrow|\parallel F(x_0,y)\parallel-\parallel F(x,y)\parallel|<\varepsilon/(\varepsilon+2\parallel F(x,y)\parallel).

而\parallel F(x_0,y)\parallel^2-\parallel F(x,y)\parallel^2<(\varepsilon+2 \parallel F(x,y)\parallel)\cdot\varepsilon/(\varepsilon+2\parallel F(x,y)\parallel)=\varepsilon

取

\varepsilon=\mu/2

即證。

綜上，取

\delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2 \right\}\Box.

f)

對於滿足

\parallel x-x_0\parallel<\delta

的任何固定的

x

，

\parallel F(x,y)\parallel^2

的最小值在球

\parallel y-y_0\parallel\le r

的某個內點

y=f(x)

取到，又

F

可逆，故

F(x,f(x))=0

。這說明了隱函式

f:B(x_0;\delta)\rightarrow B(y_0,r)\exists.

\text{proof:}

由

e)

中的結論可以知道，最小值一定在內點取到。

\frac{\partial}{\partial y}\parallel F(x,y)\parallel^2=0=\sum_{i=1}^{n}2F^i(x,y)F^i_y(x,y)=2F_y

\Box

g)

若

\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

，則

\Delta y=-[\sideset{}{_y^{

，

\sideset{}{_y^{

為行向量

F^i_y(x_i,y_i)

組成的矩陣，

(x_i,y_i)

為

(x,y),(x+\Delta x,y+\Delta y)

為端點的線段上的點

\text{proof:}

F(x+\Delta x,y+\Delta y)-F(x,y)=0=\frac{\partial}{\partial x}F(x+\theta^1\Delta x,y+\theta^2\Delta y)\Delta x+\frac{\partial}{\partial y}F(x+\theta^1\Delta x,y+\theta^2\Delta y)\Delta y:=\sideset{}{_y^{

\Box

f)

f

\text{proof:}

令

\Delta x \rightarrow0\Box.

定理證畢。

\blacktriangleright