關於高中數學中的複數板塊,我認為共軛複數和模都是重要的知識點,其中共軛複數是更重要的。這是因為複數的模實際上會導致複數集與平面的種種共性,而複數的共軛複數會帶來複數集與平面的區別。
如果將複數看做是平面向量,那麼兩個複數相加和實數與複數相乘的意義都變得明顯,然而兩個複數相乘的意義變得難以理解了。只有深刻地認識共軛複數,才能對複數集,特別是複數集與平面的區別,有深刻而準確的直觀認識。
2 設
證明
(1)
(2)
本題十分基礎而有綜合性。首先講如何解答本題,然後講本題的深層意義。
我注意到有些人做這道題使用了複數的三角表示,事實上沒有必要。對於解答問題來說,複數的普通表示和數學歸納法已經足夠了。
(1) 記
則
(2) 當
時,結論顯然成立。假設當
時,結論成立,那麼
於是當
時,結論成立。
這裡我們指出,雖然新的高中數學大綱認為數學歸納法不是必須掌握的知識點,但是因為凡是需要使用數學歸納法證明的結論,都可以粗略地避免使用數學歸納法敘述,所以出現需要使用數學歸納法的試題並不會被認為超綱。
事實上,在教材中的不等式部分,證明若
則
時,就敘述為對結論若
則
使用
次。採用類似的方法,也可以敘述本題的解答。
接下來說明本題的深層意義,實際上是共軛複數的意義。
設
則存在
使得
這就是複數的三角表示,稱
是
的幅角,兩邊取模,可知
是
的模。
設
則
這是複數的共軛複數和兩個複數相乘的三角表示,也就是說,共軛複數的模相等,幅角相反,兩個複數相乘,將模相乘,將幅角相加。因此
對兩個複數相乘的結論用數學歸納法,得到
稱此結論為 De Moivre 公式。因此