使用者53804830995592022-07-15 15:38:58設平面上的一個凸的正多邊形，周長為C，有n個邊。
容易想象，若我們把這個多邊形的n個頂點，和這個多邊形的中心，連線起來，
我們就得到了n個等腰三角形。
多邊形的面積，就是n個這些等腰三角形面積之和。
這些等腰三角形，頂角角度是360°/n，底邊長度為C/n。
用字母 θ 表示頂角角度 360°/n。
運用三角函式知識，求得，等腰三角形面積=底×高÷2=（C/n）× （C/2n）÷sin（θ/2） ÷2 =C²/4n²÷sin（θ/2）=C²/4n²÷sin（180°/n）。
正多邊形面積，就是C²/4n÷sin（180°/n）了。
可見，4n×sin（180°/n）越小，那麼相同周長的時候，正多邊形面積越大。
我們設180°/n為x，且由於n是大於等於3的整數，所以x大於零且小於60°，也就是0＜x＜π/3。所以4n×sin（180°/n） = 4π×sinx÷x，因為180°=π（這一步是叫換元，來簡便計算）
問題簡化為sinx÷x越小，相同周長的時，正多邊形面積越大。
由高等數學知識，知道x無限接近於零，同時仍是正數時，sinx÷x最小（其實這時sinx÷x無限接近於1），正多邊形面積越大。
所以，n趨向於無窮大的時候，4n×sin（180°/n）就越小，正多邊形面積C²/4n÷sin（180°/n）就越大。
所以，相同周長時，邊數n越多，正n邊形面積越大。
機智的奶茶ii2021-05-15 07:05:07周長相等的兩個正多邊形，若正多邊形的邊數相同，則面積也相等。否則面積不相等。
