在這裡，我首先引入的並不是通常教材的面積定理，而是Bekenstein-Smarr公式。在之前幾篇文章中已經得到了關於描述黑洞幾何性質的幾個重要參量，它們是

\begin{aligned} &\text{視介面積}\ \ A_+=4\pi \left( r_{+}^{2}+a^2 \right)\\ &\text{表面引力}\ \ \kappa _+=\frac{r_+-r_-}{2\left( r_{+}^{2}+a^2 \right)}\\ &\text{轉動速度}\ \ \Omega _+=\frac{a}{r_{+}^{2}+a^2}\\ &\text{兩極電勢}\ \ V_+=\frac{Qr_+}{r_{+}^{2}+a^2}\\ \end{aligned}\\

以及注意內外視界

r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-a^2-Q^2}

，單位質量角動量有

a=J/M

。組合整理一下，可以得到

\boxed{M=\frac{\kappa _+}{4\pi}A_++2\Omega _+J+V_+Q} \\

這個公式就被稱為Bekenstein-Smarr公式，聯絡了黑洞的幾個重要引數。本來到這裡湊出這個式子，僅僅是說明幾個引數之間的關係。然而我們聯想到

V_+Q

和

\Omega_+J

都是能量，而質量

M

可以反映黑洞的內能，乍一看這個式子很像熱力學第一定律。於是我們進行微分

\mathrm{d}M=\frac{\kappa _+}{4\pi}\mathrm{d}A_++\frac{A_+}{4\pi}\mathrm{d}\kappa _++2\Omega _+\mathrm{d}J+2J\mathrm{d}\Omega _++V_+\mathrm{d}Q+Q\mathrm{d}V_+ \\ \mathrm{Notice}\ \ \mathrm{that}\ \ \frac{A_+}{4\pi}\mathrm{d}\kappa _++2J\mathrm{d}\Omega _++Q\mathrm{d}V_+=-\mathrm{d}M+V_+\mathrm{d}Q \\ \mathrm{d}M=\frac{\kappa _+}{8\pi}\mathrm{d}A_++\Omega _+\mathrm{d}J+V_+\mathrm{d}Q \\

對比具有轉動動能和靜電場能的熱力學第一定律

\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+\Omega \mathrm{d}J+V\mathrm{d}Q\\

似乎暗示著我們這樣的類比意味著黑洞存在熱力學屬性，黑洞可以定義熵和溫度，而且這個熵還和黑洞的表面積有關。我們將係數進行分配一下，注意到視介面積本身自帶一個

4\pi

，而溫度可想而知，涉及到微觀粒子的振動頻率，所以可以這樣分配

\boxed{S=\frac{k_B}{4}A_+\ \ \ \ \ \ T=\frac{\kappa _+}{2\pi k_B}}\\

對於玻爾茲曼常數

k_B

的新增是為了平衡量綱。

k_B

的單位是

J/K

，是一個轉換能量與溫度的單位。而熵在傳統的熱力學裡面可以定義為

S=\int\frac{\text{d}Q}{T}

，上面是吸收熱量，下面是熱源溫度，所以量綱正是

J/K

。表面引力由於表徵加速度，可以直接認為它的量綱是

LT^{-2}

，也就是加速度的量綱。所以，在國際單位制下，熵的話，可以除以普朗克長度的平方來抵消面積的量綱；溫度的話，由於

k_B

在分母，分子需要構造成能量量綱

ML^2T^{-2}

，所以可以乘以一個

\hbar/c

，其量綱是

ML

。（這方面有關的內容推薦閱讀

https：//www。

zhihu。com/question/2637

5107/answer/1926447079

）。國際單位制下為

S=\frac{k_B}{4}A_+\frac{c^3}{G\hbar}\ \ \ \ \ \ T=\frac{\kappa _+}{2\pi k_B}\frac{\hbar}{c}\\

實際上關於黑洞的熵如何定義並不是一個已經解決得非常好的問題，這裡所定義出來的熵稱為Bekenstein-Hawking熵，記為

S_{BH}

。這也只是一種假設，除了Bekenstein-Hawking熵以外，還有依靠資訊理論定義的資訊熵作為黑洞熵的理論，但這個話題並不在我們的“基礎黑洞熱力學”討論範圍內，這裡我們就暫時認為黑洞熵就是Bekenstein-Hawking熵。

那麼在這種情況之下，我們知道熱力學一共有四個定律（包括第零定律），對比起來我們也可以建立

黑洞力學的四個定律

基礎黑洞熱力學--四定律

關於黑洞力學的第零、第一定律我們已經討論過了（第零定律見

Monsoon：Kerr-Newman黑洞 II：幾何結構與時空拖拽

）。那麼接下來就是關於第二、三定律的理解。

第二定律又稱為

面積定理

。首先，對於史瓦西黑洞來講，它的視界僅僅由質量所決定，表面積也就僅僅由質量決定，為

A_+=16\pi M^2

。在這個背景下，以及不考慮黑洞的量子效應時，面積定理是顯然的。由於單向膜區的存在使得物質沒法跑出視界，史瓦西黑洞的質量只會一直增加，那麼表面積也會一直增加。但是對於旋轉黑洞，由於Penrose過程的存在，黑洞質量會減小，看起來面積有可能會減小。但在

Monsoon：Kerr-Newman黑洞 III：Penrose過程與黑洞的非熱輻射

中，我們討論過一個叫

不可減質量

的東西

\hat{M}^2=\frac{1}{2}M\left[ M+\sqrt{M^2-a^2} \right] =\frac{A_+}{16\pi}\\

在那篇文章中我們知道，Penrose過程提取黑洞的轉動能，會讓黑洞質量減小，但是我們定義的不可減質量卻是在增大的。 所以可以認為質量對於旋轉黑洞來講只是一個表觀的量，其真正的質量應當用不可減質量來描述。而且上式也讓我們看到，旋轉黑洞的表面積是正比於不可減質量的，這樣，面積定理對於傳統的幾個黑洞都適用（史瓦西、RN、Kerr、Kerr-Newman）。

這裡順便討論一下黑洞合併的表面積問題。我們以最簡單的史瓦西黑洞作為討論物件。考慮兩個史瓦西黑洞的合併，有

16\pi(M_1+M_2)^2>16\pi M_1^2+16\pi M^2_2\\

左邊是兩個黑洞合併後（沒有質量損失，直接是

M=M_1+M_2

）的表面積，右邊是兩個黑洞合併前各自的表面積。可見黑洞的合併是符合面積定理的，反之，一個大黑洞分裂成兩個小黑洞是違反面積定理的，在不考慮量子效應和質量損失的情況下是不應該發生的。而考慮質量損失的話，受面積定理約束，最極端的情況就是，合併後的表面積等於合併前兩個黑洞的表面積之和

16\pi M_3^2=16\pi \left( M_1+M_2-\Delta M \right)^2=16\pi M_1^2+16\pi M_2^2\\

其中

\Delta M=M_1+M_2-\sqrt{M_1^2+M_2^2}

表示質量損失。那麼我們可以定義史瓦西黑洞合併的釋能率

\eta=\frac{\Delta M}{M}=1-\frac{\sqrt{M_1^2+M_2^2}}{M_1+M_2}\\

把它當作一個函式的話，在

M_1=M_2

的時候給出最高釋能效率

\eta=1-1/\sqrt{2}\approx0.3

，也就是，在合併後的表面積等於合併前兩個黑洞的表面積之和的情況下，在兩個質量一樣的史瓦西黑洞合併所產生的能量最大。

對於第三定律，由於

\kappa_+

的定義，如果

\kappa_+=0

意味著內外視界相等的極端黑洞，

r_-=r_+

。那第三定律的意思就成了不可能透過有限的過程把一個非極端黑洞轉化為極端黑洞。這裡可以簡單理解為，一方面，如果黑洞的溫度是真正的溫度的話，極端黑洞就意味著黑洞達到了絕對零度；另一方面，極端黑洞的視界十分不穩定，一旦在擾動下

r_->r_+

，視界消失，宇宙中會出現沒有視界覆蓋的裸奇點，物理規律會出現重大問題。時空中不能演化出裸奇點，這也是宇宙監察原理的意思。這樣看來，

所謂的宇宙監察原理很可能就是熱力學第三定律在時空理論中的表現

。

實際上，到目前位置，本專欄黑洞系列的文章對於黑洞力學第零、第二和第三定律都是依靠物理影象進行理解，並非嚴格的證明，在後續的文章中我們會使用能量條件以及數學語言對以上定律進行嚴格證明。

在1973年，Hawking正式證明黑洞具有熱輻射，不僅Kerr-Newman黑洞有，就連史瓦西黑洞仍然有。而Hawking輻射完全不同於我們之前提到的黑洞自發輻射與受激輻射（

Monsoon：Kerr-Newman黑洞 III：Penrose過程與黑洞的非熱輻射

），這些輻射都是非熱效應的，與黑洞的溫度無關。而Hawking輻射是完全因為黑洞具有溫度而引起的熱輻射，因而也不必遵守面積定理，對應到熱力學第二定律，系統的熵也只有在限定了孤立系統或絕熱過程的情況下才能說永不減少。這樣看來，黑洞的溫度確實是真正的溫度，黑洞力學四定律就是黑洞熱力學四定律。然而，由於實驗觀測上的原因，以及部分學者的反對意見，一般情況下我們仍然保守地稱為黑洞力學四定律。

Ps：如果你是Hawking的死忠粉，那可以大聲說黑洞熱力學四定律，也沒有問題。