吞吞知道2018-01-22 23:41:57矩陣可對角化的條件
n階方陣A可以對角化的充要條件：A有n個線性無關的特徵向量。
如何對角化矩陣？
（維基參考http：//zh。wikipedia。org/wiki/對角化）
考慮矩陣
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}。
這個矩陣有特徵值
\lambda_1 = 3， \quad \lambda_2 = 2， \quad \lambda_3= 1。
所以 A 是有三個不同特徵值的 3 × 3 矩陣，所以它是可對角化的。
如果我們要對角化 A，我們需要計算對應的特徵向量。它們是
v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}， \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}， \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}。
我們可以輕易的驗證 A v_k = \lambda_k v_k。
現在，設 P 是有這個特徵向量作為縱列的矩陣：
P=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix}。
則 P 對角化了 A，簡單的計算可驗證：
P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{bmatrix}。
注意特徵值 \lambda_k 出現在對角矩陣中。
矩陣對角化應用
對角化可被用來有效的計算矩陣A的冪，假如矩陣是可對角化的。比如我們找到了
P^{-1}AP = D \，
是對角矩陣，因為矩陣的積是結合的，
\begin{align} A^k &= （PDP^{-1}）^k = （PDP^{-1}） \cdot （PDP^{-1}） \cdots （PDP^{-1}） \\
&= PD（P^{-1}P） D （P^{-1}P） \cdots （P^{-1}P） D P^{-1} = PD^kP^{-1} \end{align}
而後者容易計算，因為它只設計對角矩陣的冪。
矩陣相似
設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^（-1）*A*P=B成立，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
相似對角化的意義
矩陣的相似對角化意義是明顯的。相似是一種等價關係，對角化相當於對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式，這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質，比如特徵多項式，特徵根，行列式……如果只關心這類性質，那麼相似的矩陣可以看作沒有區別的，這時研究一個一般的可對角化的矩陣，只要研究它的標準形式，一個對角矩陣就可以了。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。這個過程相當於在一個等價類中選取最順眼的元素研究。
另外，對角化突出了矩陣的特徵值，而過度矩陣T反映了特徵向量的資訊，對角化過程的直觀意義還是很明顯的。再結合正交矩陣的概念，可以得到一些不平凡的結論，例如實對稱矩陣總可以對角化。
實踐中的矩陣對角化作用也很大。別的不說，比如要算一個一般的3階實對稱矩陣A的n次冪，n較大時，按矩陣乘法定義去計算是相當繁瑣的，計算複雜度呈指數型增長。但是如果把A可以對角化（實對稱矩陣總是可以對角化的），寫為=T^（-1）PT， P是對角陣。那麼A^n=T^（-1）P^nT， P^n的計算是很簡單的，只要把各特徵值^n即可，此時計算A^n的複雜度幾乎與n無關。
