為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函式然後代入相減？cvgmt2019-07-24 19:57:14

f（x）dx=f（x）dx

左邊解釋為： 高x寬=小長方形面積。

右邊解釋為：斜率x寬=小三角形直角邊高度。

把左邊疊加，就是面積。

把右邊疊加，就是高。

左邊從 a 到 b 疊加面積，得到 a 到 b 的面積。

右邊從 a 到 b 疊加高，得到的是 a 到 b 的高度差，就是 F（b）-F（a）。

補一張圖。

為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函式然後代入相減？苯寶寶乙烷2019-07-26 10:42:15

“算一個曲邊梯形面積的時候是先把它所在的函式的原函式先算出來”

提到積分你想到的是什麼？正常情況下你的反應應該是三步：分割，求和，取極限。那麼它是如何與原函式有關的呢？

那麼按照下面三步來說明（部分證明）原函式的增量就是曲面梯形所圍的面積（以下簡稱面積）：

面積=定積分

原函式的增量=定積分

原函式的增量=面積

我們使用定積分

\int_{a}^{b}f(x)dx

來作為一種定義從a到b面積的符號這是無可厚非的，因為這就是積分的本意。我們的重點在於證明原函式的增量與定積分的值相同。

然而證明原函式的增量與定積分的值相同要從變上限積分的發現開始說起，變上限的積分顧名思義，是上限在變的積分形如：

\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt

對一個函式進行積分並且記錄它在下限固定時取不同的上限函式值都是多少，這樣我們可以形成一個函式。我們來證明

\Phi(x)

的導數是

f(x)

，這樣它就是

f(x)

的原函式。

那麼我們有

\Phi(x)

的導數：

\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta \Phi(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{a}^{x+\Delta x}f(t)dt}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt}{\Delta x}}

我們繼續使用一步積分中值定理

\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta \Phi(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x}},\xi\in[x,x+\Delta x]=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(\xi)=f(x)

然而原函式之間只差一個常數

C

（這是一個經典的證明一個函式為常數的套路） 求

f(x)

任意兩個原函式的差的導數為0

(F(x)-G(x))

所以它們的差為常函式即常數。再進一步 任一個原函式

F(x)=\Phi(x)+C

則有

F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx

其實就是證了一下牛頓-萊布尼茲公式……

為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函式然後代入相減？知乎使用者2019-07-26 14:46:18

定積分的定義告訴我們它可以用來求曲邊梯形的面積，而微積分基本定理則進一步指出，在一定條件下，定積分的值等於被積函式的原函式（有時候不存在）在積分上下限處函式值的差。

為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函式然後代入相減？智商稅2019-08-02 02:19:49

計算機：老子數值積分就直接分割求和，原函式是啥我不知道，有的函式的原函式無法解析地表示

為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函式然後代入相減？知乎使用者2019-12-25 19:40:54

如果把一個函式比作每日流水賬，記錄每日淨結餘。

它的原函式相當於記錄你的總資產。

想知道你這個月賺了多少，拿你月末的總資產減去月初的總資產就行了。

（對於簡單的階梯狀函式，可以簡單把每日淨結餘加起來，但對於能夠簡單計算出原函式的，顯然做差方便，而對於原函式也寫不出來的，那隻能數值方法，估計每日每小時每分的結餘加起來了）