已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？haja9322019-12-29 10:44:17

首先表示一下拋物線，外面的定點，拋物線上任何一條切線，在表示一下點到直線距離就好了吧。。。然後用基本不等式或者換元秒掉

已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？匿名使用者2019-12-29 15:50:19

已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？

如圖，可以得到距離

\sqrt{\left(\frac{p t^2}{2}-x\right)^2+(-p t-y)^2}

即求

f(t)=\frac{p^2 t^4}{4}+t^2 \left(p^2-p x\right)+2 p t y+x^2+y^2

最小值

顯然，

y=0\land ((x>0\land p\geq x)\lor x<0)

時，

|x|

x=0\land y\neq 0

時， 是關於 T 的方程

-p^2 y^4 - 4 y^6 + (4 p^4 + 20 p^2 y^2 + 12 y^4) T + (8 p^2 - 12 y^2) T^2 + 4 T^3 =0

第一個根的開根號

(y\neq 0\land x\neq 0)\lor p<x

時，是

-4 p^4 x^2 + 16 p^3 x^3 - 16 p^2 x^4 + 4 p^3 x y^2 - 32 p^2 x^2 y^2 + \\ 16 p x^3 y^2 - p^2 y^4 + 20 p x y^4 - 4 x^2 y^4 - 4 y^6 + (4 p^4 - 16 p^3 x + 8 p^2 x^2 + 16 p x^3 +\\ 20 p^2 y^2 - 4 p x y^2 + 8 x^2 y^2 + 12 y^4) \\T + (8 p^2 - 16 p x - 4 x^2 - 12 y^2) T^2 + 4 T^3=0

的第一個根的開根號

已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？予一人2020-01-31 17:53:39

一、基本思路

當前問題是：

給定拋物線

y=f(x)

以及拋物線外一點

P(a,b)

求作拋物線上一點

Q(x_0,y_0)

使得

|PQ|

最小。

為了討論方便，我們暫定

P

位於拋物線的凸側。考慮以

P

為圓心的一族同心圓

(x-a)^2+(y-b)=r^2(r>0)\\

不難發現，當且僅當這族圓中某一個與拋物線相切時，這切點

Q

使得

|PQ|

最小，而這最小距離恰是這時的

r.

於是可列方程組：

\color{blue}{\begin{cases} y_0=f(x_0),\\ (x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2,\\ f

這方程組含三個方程、且只有三個未知元

x_0,y_0,r

，因而是完備可解的。透過解這個方程組，可以一舉求出

Q

點座標和

|PQ|.

二、一個例子

這裡舉一個簡單的例子作為示範。

設拋物線方程為

y=f(x)=\frac{1}{4}x^2,

P

座標為

(8,2),

於是依前述討論，可列出方程組

\begin{cases} y_0=\dfrac{1}{4}x_0^2,\\ (x_0-8)^2+(y_0-2)^2=r^2\\ \dfrac{1}{2}x_0=-\dfrac{8-x_0}{2-y_0} \end{cases}\\

顯然

x_0\neq0,

於是可由第三個方程可表出

y_0=\frac{2(8-x_0)}{x_0}\\

將其代入第一個方程，整理即得

x_0^3=64\\

解得

x_0=4,

於是

y_0=4,

r=2\sqrt{5},

所以，

Q(4,4),

|PQ|=r=2\sqrt{5}.

已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？

已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？有丘直方2020-01-31 18:29:16

r=\sqrt{\left(\frac{y^2}{2p}-x_0^2\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}

。

令

\frac{\mathrm dr}{\mathrm dy}=0

，得三次方程

\frac1{2p^2}y^3+\left(1-\frac{x_0}p\right)y-y_0=0

。

解出

y

，再代入

r

。

y

最多有

3

個不同的實數解，選擇使

r

最小的那個。

已知拋物線及其外一定點，如何求該定點到拋物線的最短距離？小昊昊昊2020-02-02 15:33:49

設拋物線上一點A（x，y），計算該點處的切線方程，拋物線外一點到拋物線的最短距離即是拋物線外一點到切線的距離。