如何證明方程X³+X-1=0有且只有一個正實根？

我是一個麻瓜啊 2019-04-04

證明過程如下：

令f（x）=x^3+x-1。

則因為x^3，x在R上都是單調增的。

所以f（x）在R上單調增，故最多隻有一個零點。

又因為：

f（0）=-1<0

f（1）=1>0

因此f（x）有唯一零點，且在區間（0，1）。

所以方程有且只有一個正實根。

擴充套件資料：

函式與其導數是兩個不同的函式；而導數只是反映函式在一點的區域性特徵；如果要了解函式在其定義域上的整體性態，就需要在導數及函式間建立起聯絡，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導數值與函式值之間的橋樑，是利用導數的區域性性質推斷函式的整體性質的工具。

以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學的理論基礎。拉格朗日中值定理，建立了函式值與導數值之間的定量聯絡，因而可用中值定理透過導數去研究函式的性態；中值定理的主要作用在於理論分析和證明；同時由柯西中值定理還可匯出一個求極限的洛必達法則。