本文是

集合論

系列文章的第五篇，包含第九章，其他文章請點選下前往目錄。

目錄

第九章 點集中點的分類

定義9。1。1（

拓撲學

中的鄰域）：設

(X,\Im)

是

拓撲空間

，

x\in X

，

U

是

X

的一個子集，滿足： 存在一 個

開集

V\in \Im

使得

x\in V\subset U

，則稱

U

為

x

的一個鄰域。

定義9。1。2（分析中的球形鄰域）：設

x:(x_{1},x_{2},...x_{n})

為歐式空間

R^{n}

中一點，令

U=\left\{ (y_{1},y_{2},...y_{n})|\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})^{2}}}<\delta \right\}

，則稱

U

為點

x

的

\delta

球形鄰域。

定義9。1。3（分析中的方形鄰域）：設

x:(x_{1},x_{2},...x_{n})

為歐式空間

R^{n}

中一點，令

U=\left\{ (y_{1},y_{2},...y_{n})|max(\left|x_{i}-y_{i} \right|)<\delta \right\}

，則稱

U

為點

x

的

\delta

方形鄰域。

在分析與拓撲中定義了不同的鄰域，個人認為，鄰域的本質是開集，拓撲中的鄰域中真正奇效的概念是開集

V

，鑑於

點集

的性質在多數教材中沒有詳細介紹，筆者試圖透過集合的概念給出系統的論述。我們首先設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，在此基礎上研究點集的分類。第一分類法，將

X

上的點分成內點，

邊界點

，外點；第二分類法，將

X

上的點分成聚點，

孤立點

，外點。其中外點不是我們主要關注的物件，另外兩類點統稱相關點（我獨創的概念），接下來分別證明兩種分類法能夠完成分類（下文稱分類的正當性），每一類別的點與

A

的關係，以及兩種分類之間的關係。

定義9。2：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，

A

的補集記作

A^{c}

，對於點

x\in X

：

（1）若存在

x

的鄰域

U_{x}

，滿足

U_{x}\subset A

，則稱

x

為

A

的內點；

A

的內點構成的集合稱為

A

的內部，記作

A^{\circ}

。

（2）若任意

x

的鄰域

U_{x}

，滿足

U_{x}\cap A\ne \Phi

且

U_{x}\cap A^{c}\ne \Phi

，則稱

x

為

A

的邊界點；

A

的邊界點構成的集合稱為

A

的邊界，記作

\partial A

。

（3）若存在

x

的鄰域

U_{x}

，滿足

U_{x}\cap A=\Phi

，則稱

x

為

A

的外點；

A

的外點構成的集合稱為

A

的外部。

（4）若任意

x

的鄰域

U_{x}

，

U_{x}\cap A\ne \Phi

，則稱

x

為

A

的相關點，相關點構成的集合記作

Rel(A)

。

定理9。1：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，

A

的補集記作

A^{c}

，對於點

x\in X

：

（1）若

x

為

A

的內點，則

x

是

A^{c}

的外點。

（2）若

x

為

A

的外點，則

x

是

A^{c}

的內點。

（3）若

x

為

A

的邊界點，則

x

是

A^{c}

的邊界點。

證：先證明

U_{x}\subset A\Leftrightarrow

U_{x}\cap A^{c}=\Phi

：由於

U_{x}\subset A

，

\forall a\in U_{x}

，都有

a\in A

，

a\notin A^{c}

，

\Rightarrow

得證；由於

U_{x}\cap A^{c}=\Phi

，

\forall a\in U_{x}

，

a\notin A^{c}

，

a\in A

，

\Leftarrow

得證。由此證明：

（1）由定義與上述結論，存在

x

的鄰域

U_{x}

，滿足

U_{x}\cap A^{c}=\Phi

，恰好符合

A^{c}

的外點的定義，得證。

（2）由定義與上述結論，存在

x

的鄰域

U_{x}

，滿足

U_{x}\subset A^{c}

，恰好符合

A^{c}

的內點的定義，得證。

（3）由於

A=(A^{c})^{c}

，根據定義，顯然得證。

我們前面證明的集合關係，給出了另一種一種內點與外電的定義方法，定義9。1是基於集合

A

本身定義的，而這裡是基於

補集

A^{c}

定義的；我們因而可以用

(A^{c})^{\circ}

表示

A

的外部。

推論9。1：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，

A^{\circ}\subset A

，

(A^{c})^{\circ}\subset A^{c}

。

證：設

x\in A^{\circ}

，由內點定義有

x\in U_{x}\subset A

，即得證，外點集同理可得。

定理9。2（第一分類法的正當性）：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

， 對於點

x\in X

，

x

必是內點、邊界點、外點中的一種，即

X=A^{\circ}\cup\partial A\cup(A^{c})^{\circ}

，

A^{\circ}\cap\partial A=\Phi

，

A^{\circ}\cap(A^{c})^{\circ}=\Phi

，

\partial A\cap(A^{c})^{\circ}=\Phi

。

證：先假設

x

既不是內點，也不是外點，結合以上給出的兩種定義，有任意

x

的鄰域

U_{x}

，都有

U_{x}\cap A\ne \Phi

和

U_{x}\cap A^{c}\ne \Phi

，恰好滿足邊界點的定義，證得了，任何點都至少包含於這三種點當中的一種，接下來證明它不能同時屬於兩種。假設

x\in \partial A

，由定義有

U_{x}\cap A\ne \Phi

且

U_{x}\cap A^{c}\ne \Phi

，與

x

是內點和外點的定義是矛盾的，因而有

A^{\circ}\cap\partial A=\Phi

，

\partial A\cap(A^{c})^{\circ}=\Phi

；最後再假設

x\in A^{\circ}\cap(A^{c})^{\circ}

，則存在鄰域

U_{x}

，使得

U_{x}\cap A=\Phi

，

U_{x}\cap A^{c}=\Phi

，從而推出

U_{x}=\Phi

，與鄰域定義矛盾，從而

A^{\circ}\cap(A^{c})^{\circ}=\Phi

。

定理9。3：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

：

（1）

Rel(A)=A^{\circ}\cup\partial A

。

（2）

A\subset Rel(A)

。

證：（1）我們先假設

x\in Rel(A)

，但

x\notin \partial A

，由定義有

U_{x}\cap A\ne \Phi

且

U_{x}\cap A^{c}= \Phi

，那麼

U_{x}\cap A^{c}=U_{x}

，即

U_{x}\subset A

，

x\in A^{\circ}

，也就證出了

Rel(A)\subset A^{\circ}\cup\partial A

。假設

x\in A^{\circ}

，由定義知

U_{x}\subset A

，

U_{x}\cap A\ne \Phi

，得

x\in Rel(A)

；若

x\in \partial A

，由定義也有

U_{x}\cap A\ne \Phi

，得

x\in Rel(A)

，故得證。

（2）顯然

Rel(A)^{c}=(A^{c})^{\circ}\subset A^{c}

，有補集的性質，得證。

推論9。2：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，

Rel(A)\cup (A^{c})^{\circ}=X

，

Rel(A^{c})\cup A^{\circ}=X

。

證明：由定理9。3（1），顯然。

定義9。3：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

， 對於點

x\in X

：

（1）若任何

x

的鄰域

U_{x}

，

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap A\ne \Phi

，則稱

x

為

A

的聚點，聚點構成的集合稱作導集，記作

A^{

。

（2）若

x\in A

，

x\notin A^{

，則稱

x

為

A

的孤立點。

定理9。4（第二分類法的正當性）：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

， 對於點

x\in Rel(A)

，有

x

不是聚點就是孤立點。

證：由定義可知，

x

不會既是聚點又是孤立點；那麼我們假設

x\notin A^{

，由定義得任存在

x

的鄰域

U_{x}

，

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap A\ne \Phi

，

U_{x}\cap A\ne \Phi

，從而得

\left\{ x \right\}\cap A\ne \Phi

，自然地，

x\in A

，

x

是

A

的孤立點，得證。

定理9。5（有爭議）：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

：

（1）內點都是聚點。

（2）孤立點都是邊界點。

證：（1）設

x

是內點，則存在鄰域

U_{x1}\subset A

，對於任何鄰域

U_{x}

，由於

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap U_{x1}\ne \Phi

，

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap U_{x1}\subset (U_{x}-\left\{ x \right\})\cap A

，得

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap A\ne \Phi

，從而是聚點。

（2）設

x

是孤立點，則任何

x

的鄰域

U_{x}

，

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap A=\Phi

，

\left\{ x \right\}\cap A=\left\{ x \right\}\ne\Phi

，得

U_{x}\cap A\ne\Phi

；由補集公式得，

(U_{x}-\left\{ x \right\})\cap A^{c}=U_{x}-\left\{ x \right\}\ne \Phi

，即

U_{x}\cap A^{c}\ne \Phi

，滿足邊界點定義。

注：上述結論在拓撲空間中需要新增條件：

\left\{ x \right\}

不是一個鄰域（開集）才能夠成立，本文的探討都預設這一條件。

定義9。4：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，

A^{

稱為

A

的

閉包

，記作

\bar{A}

。

定理9。5：設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

，

\bar{A}=Rel(A)

。

證：設

x\in Rel(A)

，則

x\in A^{

或

x

是孤立點，顯然若是孤立點，則

x\in A

，因此，

Rel(A)\subset \bar{A}

。再假設

x\in \bar{A}

，則

x\in A^{

或

x\in A

，結合定理9。3（2），易得

\bar{A}\subset Rel(A)

，由此得證。

這樣，我們就證明了閉包與相關點集的等價性，上述所有關於

Rel(A)

的性質關於

\bar{A}

同樣成立，最重要的還是補集性質：

\bar{A}^{c}=(A^{c})^{\circ}

，請讀者深入理解，這個性質將在下一章的證明中配合定理3。2被反覆用到。

例9。1：定義二維歐式空間中的集合

E_{1}=\left\{ (0,0) \right\}\cup \left\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}>1 \right\}

，其內部：

\left\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}>1 \right\}

，邊界：

\left\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}=1 \right\}\cup\left\{ (0,0) \right\}

，外部 ：

\left\{ (x,y)|0<x^{2}+y^{2}<1 \right\}

，閉包：

\left\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\geq1 \right\}\cup\left\{ (0,0) \right\}

，聚點：

\left\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\geq1 \right\}

，孤立點：

\left\{ (0,0) \right\}

。

E_{2}=\left\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\geq1 \right\}\cup\left\{ (0,0) \right\}

，如將集合

E_{1}

換為

E_{2}

上述結論完全不變，請讀者自行驗證。

總結：本章，我們採用了另外一種順序闡述了點的分類體系，設

X

為研究的點集全集，

A\subset X

， 將點分成兩大類，一類是外點，一類稱為相關點，定理9。5告訴我們相關點的集合與閉包是等價的，以後的討論將只使用閉包，外點不是我們研究

A

時感興趣的點，而閉包中的點是我們感興趣的，由此衍生出兩大分類法。第一類將閉包分成內點和邊界點，這一類分發使得

A

與

A^{c}

產生了

對稱性

（定理9。1），同時內點一定是屬於

A

的，而邊界點不見得屬於

A

。第二類將閉包分成了聚點和邊界點，在特定條件下，聚點包含了全部的內點，同時邊界點包含了全部的孤立點。下文將在分類的基礎上探討開集和

閉集

的性質。

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