做同樣的工作, 說不同的事情
行列式是什麼， 怎麼算這個數？
高斯消元法是什麼， 怎麼用它求解線性方程組？
行列式的計算與高斯消元法有什麼聯絡， 為什麼會有聯絡？
回顧高斯消元法求解下述線性方程組的過程, 它的中心思想就是"同解簡化":
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第一個方程乘以
加到第二個方程， 得到
；
第二個方程乘以
加到第一個方程， 得到
；
第一個方程乘以
， 第二個方程乘以
， 得到
。
仔細想來， 線性方程組的係數構成的行列式是這樣變化的，
即， 第一行乘以
加到第二行， 行列式保持不變； 第二行乘以
加到第一行， 行列式保持不變； 第一行提出
， 第二行提出
； 行列式等於
。
高斯消元法求解線性方程組的幾何意義 （詳見 線性代數（2） —— 消元法 （高斯的三板斧）
將求解線性方程組
看作是求解平面上兩條直線的交點。 那麼，
高斯消元法的過程, 對應的幾何意義如下:
圖 1
隨著利用高斯消元法將線性方程組“同解簡化”， 這兩條直線在保持交點不變的前提下， 逐漸垂直。
"交點不變"對應"同解", "垂直"對應"簡化".
線性方程組係數對應的行列式的幾何意義 (
詳見 線性代數（3。1） —— 行列式 （隱藏在“大公式”背後的真相）
)
高斯消元法過程中的三個線性方程組係數對應的行列式為
它的幾何意義如下：
圖 2
圖 2
中， 這三個平行四邊形是透過
圖 1
中對應的直線的法向量張成的。
從左到右, 在保持面積不變的前提下, 平行四邊形逐漸變成矩形
。
"面積不變"對應"同解", "變成矩形"對應"簡化".
總結 (行列式的性質與線性方程組的初等變換)
這樣看來， 高斯消元法求解線性方程組和計算行列式， 看似兩個不同的東西， 前者是給出一個集合 （解集合）， 後者是給出一個數 （行列式）。 但是計算過程是如此的相似。 也就是說，
做的事情是如此相似, 但說的是不同事情
。
另外， 線性方程組的初等變換：
用一非零數乘某個線性方程；
把一個線性方程的倍數加到另一個線性方程；
互換兩個線性方程的位置。
與行列式的性質是一一對應：
某一行乘以非零數的行列式等於該數乘以原行列式；
將某行乘以某數加到另一行後的行列式保持不變；
交換兩行， 行列式變號。
高斯消元法保證線性方程組的解集合不變， 再根據行列式的性質， 它也保證了線性方程組對應的行列式
不會從"等於零"變為"不為零"
， 也
不會從"不為零"變為"等於零"
。 這樣我們就更深入地認識到 線性代數（3。1） —— 行列式 （隱藏在“大公式”背後的真相） 中所講，
判斷線性方程組解存在唯一的充要條件是線性方程組對應的行列式不為零
。
另外，
在高斯消元法的計算過程中, 可以提取出行列式的計算過程
， 這也為 線性代數（3。3） —— Cramer法則與高斯消元法 （殊途同歸） 奠定了基礎。
需要注意的是， 這裡討論的線性方程組的方程數和未知數是相等的。
世界之大，而能獲得最公平分配的是影片
麻省理工學院—— 線性代數—— 第1集—— 方程組的幾何解釋
麻省理工學院—— 線性代數—— 第2集—— 矩陣消元
麻省理工學院—— 線性代數—— 第18集—— 行列式及其性質
