黎曼面上的2D Yang-mills理論，BF理論雜記

一個黎曼面

$\Sigma$

上的

維Yang-mills理論的作用量為：

$I(A)=-\frac{1}{4e^2}\int_\Sigma g^{ik}g^{jl}{\rm{Tr}}F_{ij}F_{kl}d\mu{\tag{0.1}}$

這是一個關於聯絡的泛函，其中的

為常數通常稱為規範耦合常數，

$g^{ij}$

為

$\Sigma$

上的度規，

$\mu$

為黎曼面上的測度。當

時，相應的Yang-mills理論是嚴格可解的。在2維的情況下，上面的作用量僅僅只和測度

$\mu$

有關。這是因為如果

$\Sigma$

是定向的黎曼面，那麼

$\Sigma$

上的度規

給出了一個體積形式

$\varepsilon$

，此時我們可以定義一個

值的0-形式

使得

$F=\varepsilon f$

，而當黎曼面

$\Sigma$

未定向時，體積形式

$\varepsilon$

未必存在，但是我們仍然可以給出一個取值在一個結構群為

$\mathbb{Z}_2$

的1維線叢：定向叢

$\sigma$

上的2-形式

$\varepsilon$

，這個時候我們仍然可以寫出

$F=\varepsilon f$

其中的

為

$\sigma$

上的

值的截面。於是作用量

變成：

$I(A)=-\frac{1}{2e^2}\int{\rm{Tr}}f^2d\mu{\tag{0.2}}$

即2維情況下，定義在黎曼面

$\Sigma$

上的Yang-mills理論僅僅依賴於測度而與度規無關，這一特性使得作用量

在標度變換

$e^2\to te^2;\mu\to \mu/t$

下保持不變。在量子理論中，我們關心的是與作用量

對應的配分函式：

$Z_\Sigma\left(e^2\rho\right)=\int DAe^{-I(A)}=\int DA\exp\left\{ -\frac{1}{2e^2}\int_\Sigma{\rm{Tr}}f^2d\mu\right\}{\tag{0.3}}$

其中的

$\rho=\int_\Sigma d\mu$

為整個黎曼面的面積。除了上面的標度不變性之外，黎曼面上的2D Yang-mills理論也是一個超可重整性的理論。要說明這一點，假設我們在作用量中引入如下的兩個counterterm：

$I(A,g)=I(A)+u\int_\Sigma d\mu+v\int_\Sigma\frac{R}{2\pi}d\mu{\tag{0.4}}$

其中第二項依賴於黎曼面的幾何特徵，而第三項中的積分為黎曼面的尤拉示性數依賴於黎曼面的拓撲特徵，那麼在不同的正規化條件下就會有不同的引數

。在引入counterterm的情況下，配分函式就有：

$Z_\Sigma(e^2\rho)\to Z(e^2\rho)\exp\left(\Delta u\int d\mu+\Delta v\int \frac{R}{2\pi}d\mu \right)\tag{0.5}$

由於理論本身應當保持原本具有的標度不變性，所以就必須有：

$\Delta u=e^2u_0,\Delta v=v_0$

是和

無關的常數，這就說明該理論本身是超可重整化的。因此通常情況下，我們不需要考慮不同的正規化方法對於黎曼面上的2D Yang-mills理論的影響，只有當規範耦合常數

$e\to 0$

的時候，這個時候引入counterterm的作用量滿足：

$Z_\Sigma(0)\to e^{\Delta v \cdot\chi(\Sigma)}Z_\Sigma(0){\tag{0.6}}$

此時對於正規化方法的選擇將會對配分函式產生影響。

考慮一個如下的新的作用量

$I_1(A,\phi)=-\frac{e^2}{2}\int_\Sigma {\rm{Tr}}\phi^2d\mu-i\int_\Sigma {\rm{Tr}}\phi F{\tag{1.1}}$

該作用量對應的配分函式為：

$\tilde{Z}(e^2\rho)=\int D\phi DA e^{\frac{e^2}{2}\int {\rm{Tr}\phi^2d\mu}}e^{i\int {\rm{Tr}}\phi F}\tag{1.2}$

利用高斯積分

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-\frac{e^2}{2}x^2-ixy}dx =e^{-\frac{y^2}{2e^2}}$

可以得到該作用量對應的配分函式與黎曼面上2D Yang-mills理論的配分函式相等：

$\tilde{Z}(e^2,\rho)=Z(e^2,\rho)$

因此在量子層面上，我們可以認為這兩個理論描述是一樣的。採用（1。1）式的作用量的好處在於，當規範耦合常數

$e\to 0$

時，作用量（1。1）的形式為：

$I_2(A,\phi)=-i\int_\Sigma {\rm{Tr}}\phi F\tag{1.3}$

相應的配分函式為

$\tilde{Z} (0)=\int D\phi DA e^{i\int {\rm{Tr}}\phi F}$

這個時候整個理論為拓撲不變的，作用量

和相應的配分函式中都不再出現測度項。作用量

式稱為一個BF理論，它是一個拓撲場論，它可以視為3維中的Chern-Simons理論在邊界緊化下的結果。考慮一個定向的三維流形

，

為

上的

主叢。那麼給定一個

取值的1-形式聯絡

，Chern-Simons理論的作用量為：

$I_{CS}(B)=-\frac{ik}{4\pi}\int_X {\rm{Tr}}\left(B\wedge dB+\frac{2}{3}B\wedge B\wedge B\right);k>0\tag{1.4}$

現在給出定義在黎曼面

$\Sigma$

上的邊界緊化

$X=\Sigma\times S^1$

其中的

用引數

$t\in \left[0,1\right]$

來表徵。令

$\phi,A$

為

$\Sigma$

上

取值的0-形式，1-形式，對映

$w:\Sigma\times S^1\to \Sigma$

那麼在

分解式

$B=w^{*}\left(\phi\right)dt+w^{*}\left(A\right)$

下，作用量（1。4）約化為：

$I_4(\phi,A)=-\frac{ik}{2\pi}\int_\Sigma {\rm{Tr}}\left[\phi F(A)\right]\tag{1.5}$

這與作用量

僅僅差了一個常數因子。由於BF理論是一個拓撲場論，所以作用量

對應的配分函式是一個拓撲不變數。我們現在使用

規範固定的方法來計算該配分函式。引入如下的

取值0-形式

及相應的

變換律：

$\begin{gathered} \delta A_i=-D_ic=-\left(\partial_ic+\left[A_i,c\right]\right),\delta c=\frac{1}{2}\left[c,c\right]\\ \delta\bar{c}=i\omega,\delta\omega=0 \end{gathered}\tag{1.6}$

相應規範固定項

$I_{GF}=-\delta V$

局域的定義在場函式空間模掉規範變換之後的空間上，因此對於任意的聯絡

$A=A^{(0)}+B$

，取規範固定項為：

$V=-\int_\Sigma {\rm{Tr}}\bar{c}D_i^{(0)}B^i, I_{GF}=\int_{\Sigma}{{\rm{Tr}}}\left(i\omega D_i^{(0)}B^i-\bar{c}D_i^{(0)}D^ic\right)d\mu\tag{1.7}$

那麼上式關於

$\omega$

的變分得到的EL方程為：

$D^{(0)}_iB^i=0$

此時在規範固定下的配分函式表示式為：

$\tilde{Z}(0)=\frac{1}{\#Z(G)}\int DAD\phi D cD\bar{c}D\omega \int \exp\left[i\int_\Sigma {\rm{Tr}}\phi F- i\int_\Sigma \omega D_i^{(0)}B^i-\int_\Sigma {\rm{Tr}}D_i^{(0)}\bar{c}D^ic d\mu\right]\tag{1.8}$

前面的

$\frac{1}{\#Z(G)}$

可以理解為歸一化因子。這裡的

$c,\bar{c},,\phi,\omega$

都是取值在

上的0-形式。為了計算式子（1。8），先對

$\phi,\omega$

進行積分，得到：

$\tilde{Z}(0)=\frac{1}{\#Z(G)}\int DADcD\bar{c}\exp\left[ -\int_\Sigma {\rm{Tr}}D_i^{(0)}\bar{c}D^icd\mu\right]\prod_{x\in\Sigma}\delta\left[F(x)\right]\delta\left[D^{(0)}\ast B(x)\right]\tag{1.9}$

注意前面的BRST規範固定是區域性定義的，所以方程：

$D^{(0)}B=F=0\tag{1.10}$

將所有

$\Sigma$

上的聯絡所構成的空間

$\mathscr{A}$

的空間區域性的劃分成平坦聯絡的模空間

$\mathscr{M}$

。而（1。9）式中對

積分的計算需要用到一個事實：如果

$H:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$

是一個光滑對映，僅僅在原點處具有非退化的孤立零點，那麼我們有：

$\int \delta^n\left[H(x)\right]dx^1\cdots dx^n=\frac{1}{\left|\det H$

這裡de

為對映

在零點附近將對映

線性化的算符。而對於

$c,\bar{c}$

的積分是高斯型積分，因此其結果為相應的橢圓算符

$\Delta_0=\ast D\ast D$

的算符行列式。現在需要討論平坦聯絡方程（1。10）的解對於整個（1。9）式計算結果的影響。方程

的線性化版本為：

$QB=0;Q:\Omega^1[ad(E)]\to \Omega^2[ad(E)]\oplus\Omega^0[ad(E)];Q=D\oplus\ast D\ast\tag{1.12}$

如果

為方程

的孤立解，那麼應用（1。11）的結果，對

式最終結果就為：

$\frac{1}{\#Z(G)}\frac{\det\Delta_0}{\left|\det Q\right|}\tag{1.13}$

上式中出現的橢圓算符算符行列式的組合在數學上稱為對平坦聯絡

$A^{(0)}$

的analytic torsion這是數學上的一個拓撲不變數。（不像上同調/同調之類的，這個小可愛都沒有一個合適的中文翻譯（@‘^’@）在更一般的情況下，

不是方程

的孤立解，那麼此時方程

的解構成了一個向量空間，且該向量空間同構於

$T\mathscr{M}$

，此時

$\Omega^1[ad(E)]$

應當分解為

$\Omega^1[ad(E)]=T\mathscr{M}\oplus \Omega^1_{\perp}$

，

$\Omega^1_{\perp}$

為

$T\mathscr{M}$

的正交補，因此相應的

式最終結果就為：

$\frac{1}{\#Z(G)}\frac{\det\Delta_0}{\left|\det Q_{\perp}\right|};Q_{\perp}=Q_{\Omega^1_{\perp}}\tag{1.14}$

由於

$\left|\det Q\right|=\sqrt{\det QQ^{*}},Q^{*}=\Delta_0 \oplus\Delta_2; \left|\det Q\right|=\sqrt{\det \Delta_0\cdot\det \Delta_2}$

，而在黎曼面

$\Sigma$

可定向時，

$\Delta_0$

和

$\Delta_2$

的譜是相同的，所以在黎曼面

$\Sigma$

可定向時，

和

式的結果都僅僅只剩下

$\frac{1}{\#Z(G)}$

。

現在回到對於2D Yang-mills理論的討論中，類似於對BF理論的討論，我們的重點是計算配分函式式

。為了計算的方便，這裡取

。這裡我們將採用所謂的“剪下-貼上法”來計算

式。在函式空間

$\mathscr{W}$

上計算路徑積分時，一個常用的方法是對函式

$\mathscr{W}$

進行截斷使之成為某個有限

維空間，隨後在令

$n\to \infty$

並最終得到與截斷方式無關的結果。在2D Yang-mills理論中，這一截斷可以透過“格點規範場論”的方式來實現。我們將黎曼面

$\Sigma$

用多邊形來覆蓋，而

$\Sigma$

上的

主叢

則成為包含了多邊形邊緣的有限集

$\mathscr{L}$

。此時的格點規範變換為

$\mathscr{L}$

到

的對映，也就是對於每一個

$x\in \mathscr{L}$

都對應於一個

$g_x\in G$

。在此基礎上引入，格點規範場論中的聯絡：對於以

和

為頂點的邊緣

$\gamma$

都對應於一個

中的元素

$U_\gamma$

並將其視為把頂點

變換為

的沿著多項式邊緣的parallel transport。並且在規範變換下，格點規範場論中的聯絡的變換規律為：

$U_\gamma \to g_yU_\gamma g_x^{-1}$

。這正是Yang-mills理論的格點規範場版本。

格點規範場的示意圖

在任意維度中，都可以用這樣的方法來近似計算Yang-mills理論的配分函式和可觀測量，而2維的情況特殊的地方在於2維情況下無論對格點進行怎樣的切割與劃分，配分函式都不會變化。在格點化的情況下，配分函式的表示式變為：

$\exp\left(-\int\mathcal{L}\right)=\prod_{i}\exp\left(-\int_{w_i}\mathcal{L}\right)\tag{2.1}$

其中的

為一塊塊多邊形。對於每一塊

都對應於一個

$\rho_i$

使得

$\sum_i\rho_i=\rho=\int_\Sigma d\mu$

對於給定的多邊形

$\left(w_i,\rho_i\right)$

，它由邊緣

$\left(x_1,\cdots,x_n\right)$

所決定，每一個邊緣

都對應於一個格點規範聯絡

，於是在該多邊形上規範不變數為環繞整個多邊型的和樂

$\mathscr{U}=U_1U_2\cdots U_n\tag{2.2}$

一塊小多邊形及其邊緣上的聯絡

更確切的說，對於每一個

$\left(w_i,\rho_i\right)$

其在規範變換下的等價類都是一個規範不變數。於是對於每一個和樂的規範等價類

$\mathscr{U}$

，都有一個區域性的因子：

$\varGamma\left(\mathscr{U},\rho_{i}\right)=\sum_{\alpha}\dim\alpha \cdot\chi_\alpha\left(\mathscr{U}\right)\cdot e^{-\frac{\rho_ic\left(\alpha\right)}{2}}\tag{2.3}$

這裡的下標是對

$\mathscr{U}$

在李群

上所有同構的表示類進行求和，

$\chi_{\alpha}$

為相應表示類的特徵標，

$c\left(\alpha\right)$

為

上表示類的卡西米爾算符。那麼在給定黎曼面

$\Sigma$

上的一個覆蓋

之後，配分函式

式的格點規範近似為：

$Z_{\Sigma,X}\left(\rho\right)=\int\prod_\gamma dU_\gamma\prod_i\varGamma\left(\mathscr{U}_i,\rho_i\right)\tag{2.4}$

其中的

$dU_\gamma$

為群

上的哈爾測度。要證明配分函式

式與格點的劃分方式無關，只需要證明區域性因子

式與格點的劃分方式無關。為此考慮下面的一個正方形的情況：

對於前者四個頂點正方形，相應的區域性因子為：

$\varGamma=\sum_\alpha\dim\alpha\cdot\chi_\alpha\left(U_1U_2U_3U_4\right)\cdot e^{-\frac{\rho_0c(\alpha)}{2}}\tag{2.5}$

現在把該正方形切割成帶有公共邊的兩個三角形，於是對於兩個三角形區域就有：

$\varGamma_1\varGamma_2=\sum_{\alpha,\beta}\dim\alpha\cdot\dim\beta\cdot\chi_\alpha\left(U_1U_2V\right)\cdot\chi_\beta\left( V^{-1}U_3U_4\right)e^{-\frac{\rho_1c(\alpha)+\rho_2c(\beta)}{2}}\tag{2.6}$

要證明

$Z_{\Sigma,X}=Z_{\Sigma,X$

就相當於證明

$\int \varGamma_1\varGamma_2 dV=\varGamma$

。但是該積分式是恆成立的，因為在群

上，有基本的正交性關係：

$\int dV{\chi_\alpha}\left(AV\right)\chi_{\beta}\left(V^{-1}B\right)= \frac{\delta_{\alpha\beta}}{\dim\alpha}\cdot\chi_\alpha\left(AB\right)\tag{2.7}$

這就證明了黎曼面2D Yang-mills理論在格點規範近似下與格點的劃分方式無關。基於上面的敘述我們最終得到：

$\begin{aligned} Z_{\Sigma_g}\left(\rho\right)&=\sum_\alpha\dim\alpha\cdot e^{-\frac{\rho c(\alpha)}{2}}\cdot \int \chi_\alpha\left(U_1V_1 U_1^{-1}V_1^{-1}\cdots U_gV_gU_g^{-1}V_g^{-1}\right)dU_idV_j\\ &\xlongequal{\int\chi_\alpha\left(AUBU^{-1}\right)dU=\frac{\chi_\alpha(A)\chi_\beta(\alpha)}{\dim\alpha}}\sum_{\alpha}\frac{e^{-\frac{\rho c\left(\alpha\right)}{2}}}{\left(\dim\alpha\right)^{2g-2}} \end{aligned}\tag{2.8}$

這就是定義在虧格為

的黎曼面

$\Sigma_g$

上的2D Yang-mills理論的配分函式

上一節中我們用的是格點規範場論近似的計算方法，不是特別能夠體現出“剪下-貼上”在黎曼面2D Yang-mills理論配分函式中的應用，因此本節將運用一個新的框架來敘述。考慮一個如下左圖所示的封閉曲面

$\Sigma$

，當沿著其上一條閉曲線

對

$\Sigma$

進行切割時該曲面分成面積分別為

$\rho_L$

和

$\rho_R$

的兩個曲面

$\Sigma_L$

和

$\Sigma_R$

。如果用1維單形對閉曲線

進行覆蓋時，在格點規範場論的框架中這相當於對

賦予了一個群元素

，而其他的群元素

$U_{L,\gamma}$

，

$U_{R,\delta}$

則與

$\Sigma_L$

和

$\Sigma_R$

上的邊緣相關。

圖示為對封閉曲面\Sigma沿著封閉曲線進行切割的示意圖

於是在

給定的情況下可以對變數

$U_{L,\gamma}$

和

$U_{R,\delta}$

進行積分，這兩個積分定義了關於

的函式：

$\begin{aligned} &\varphi_R(U)=\int\prod_{w_i\in\Sigma_R}\varGamma(\mathscr{U}_i,\rho_i)dU_{R,\delta}\\ &\varphi_L(U^{-1})=\int\prod_{w_i\in\Sigma_L}\varGamma(\mathscr{U}_i,\rho_i)dU_{L,\gamma} \end{aligned}\tag{3.1}$

利用特徵標的運算性質可以得到：

$\overline{\varphi_R(U)}=\varphi_R(U^{-1}),\overline{\varphi_L(U)} =\varphi_L(U^{-1})$

以及

$\varphi_R(AUA^{-1})=\varphi_R(U),\varphi_L(AUA^{-1})=\varphi_L(U)\tag{3.2}$

於是當我們反過來沿著邊緣

把兩個區域

$\Sigma_L$

和

$\Sigma_R$

拼接起來時，相應的就相當於固定群元素

把兩個函式拼接起來，得到的總的配分函式也因此就為：

$Z_{\Sigma}(\rho)=\int\varphi_{L}(U^{-1})\varphi_R(U)dU=\int\overline{\varphi_L(U)}\varphi_R(U)dU\tag{3.3}$

在此基礎上可以自然的引入通常量子理論中的希爾伯特空間描述：群

上的無窮維類函式關於如下的內積

$\langle f,g\rangle=\int\overline{f(U)}g(U)dU\tag{3.4}$

構成希爾伯特空間

$\mathscr{H}_G$

，對於其中的兩個元素

$\varphi_L,\varphi_R$

配分函式定義為

$Z_\Sigma(\rho)=\langle\varphi_L,\varphi_R\rangle\tag{3.5}$

於是自然的在量子理論希爾伯特空間框架的描述下，就有：

$\begin{gathered} \int\overline{\chi_\alpha(U)}\chi_\beta(U)dU=\delta_{\alpha\beta},\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=\mathbb{I}\\ \langle \varphi_L,\varphi_R\rangle=\sum_\sigma\langle\varphi_L,\chi_\sigma\rangle\langle \chi_\sigma,\varphi_R\rangle \end{gathered}\tag{3.6}$

其中第二行的公式如果用路徑積分形式寫出來的話，其實就相當於用兩者共同的邊界元來展開，其中的具體表達式含義即為：

$\langle \chi_{\sigma}(U),\varphi_R(U)\rangle=\int dU\int \prod_{w_i\in\Sigma_R}\varGamma(\mathscr{U}_i,\rho_i)\cdot\overline {\chi_\sigma(U)}dU_{R,\delta}\tag{3.7}$

這相當於是一個區域性的路徑積分。那麼按照這樣子的希爾伯特空間

$\mathscr{H}_G$

框架，不難證明在最一般的情況下對整個黎曼面

$\Sigma$

按照多個不同的閉合曲線進行分割時，其上的區域性路徑積分為：

$Z_\Sigma(\rho;\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=\int\prod_{i}\varGamma(\mathscr{U}_i,\rho_i)\cdot\prod_{i=1}^n\overline{\chi_{\alpha_i}(U_i)}\prod_{\gamma}dU_\gamma\tag{3.8}$

最後在把這些區域性路徑積分按照閉合曲線逐步拼回來後，整個黎曼面上的配分函式就是

$Z_\Sigma(\rho)=\sum_{\left\{\alpha\right\}}\prod_\mu Z_{\Sigma_{\mu}}(\rho_\mu;\left\{\alpha\right\})\tag{3.9}$

該式實際上正是前一節的

式，由此也可以看得出來黎曼面上2D Yang-mills理論配分函式計算和曲面用格點/曲線分割的方式無關。

事實上面這種希爾伯特空間框架可以被推廣到一般情況下的Yang-mills理論。在

維的Yang-mills理論中，它們的希爾伯特空間為

$\mathscr{H}_G=L^2(\mathscr{A}/\hat{G})$

總是和一個帶有

主叢

的

維流形

相聯絡，其中的

$\mathscr{A}$

為

上所有的聯絡構成的空間而

$\hat{G}={\rm{Map}}(Y,G)$

。

一般情況下把曲面\Sigma沿著不同的閉曲線C_i進行切割的示意圖。透過賦予每個C_i一個表示\alpha_i的方式，我們可以對\Sigma切割後的得到的每一個小塊進行區域性的路徑積分計算並最終再拼湊黏合回來得到整個曲面\Sigma本身的路徑積分，這就是所謂的“剪下-貼上”法。

更進一步地，因為

維Yang-mills理論的拉氏量在保持面積的微分同胚對映群的作用下保持不變，並且對於每一條

$\Sigma$

上的閉合曲線

，

大的每一個微分同態都是

鄰域中的一個保持面積的微分同態的限制限制，所以從形式推理上不難得知

的微分同胚對映群

${\rm{diff}}C$

會作用在希爾伯特空間

$\mathscr{H}_G$

上。而

${\rm{diff}}C$

作用的具體作用也不難得出，對於保持定向的微分同胚會保持環繞

的和樂

不變，從而它對函式

$\varphi(U)$

的作用相當於是

$\varphi(U)$

上的恆等變換；另外一方面對於逆轉定向的微分同胚則會將環繞

的和樂

對映為

$U^{-1}$

從而它對函式

$\varphi(U)$

的作用是把

$\varphi(U)$

對映為

$\varphi(U^{-1})$

。這樣子一來，在給定出

$\mathscr{H}_G$

上的基：特徵標

$\chi_\alpha(U)$

就可以具體的把保持定向的同胚對映和逆轉定向的同胚對映兩者的不同作用寫成算符，並因此得到可觀測量，最後只需要仿照本節前面的內容便能逐步建立起完整的量子理論體系。這也是“剪下-貼上法”的真正實質：把希爾伯特空間的構造同流形上沿著閉合曲線的分割得到的邊緣和子流形聯絡起來。

實際上黎曼面上2D Yang-mills理論中的配分函式與特定模空間上的體積公式有著十分深刻聯絡，在這篇文章的最後一節中我們來著重分析這一點。為此考慮一個帶若干個洞的黎曼面

$\Sigma$

，其上的洞的邊界由閉曲線

所給出，環繞每個閉曲線

的和樂記為

，現在給定規範群

的一個表示

$\alpha$

，那麼根據前面的討論，每一個區域性的路徑積分為：

$Z_{C_i}(\rho,\alpha)=\langle \chi_\alpha(U),\varphi(U)\rangle\tag{4.1}$

現在假設我們已經根據上一節最後的內容給出了希爾伯特空間的構造，那麼對於其上一般的態矢

$|\Theta\rangle$

，

$|\Theta\rangle$

是具有Delta函式支撐的定義在群

表示共軛類上的類函式，滿足：

$|\Theta\rangle=\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|\Theta\rangle =\sum_\alpha\overline{\chi_\alpha(\Theta)}|\alpha\rangle\tag{4.2}$

於是區域性路徑積分用一般態矢來表達的話，就是

$Z_{C_i}(\rho;\Theta)=\sum_\alpha Z_{C_i}(\rho;\alpha)\cdot\chi_\alpha(\Theta)\tag{4.3}$

把所有的區域性路徑積分粘合起來，我們便得到

$\Sigma$

上的配分函式為：

$\begin{aligned} Z_{\Sigma}(\rho;\Theta)&=Z_\Sigma(\rho;\Theta_1,\Theta_2,\cdots,\Theta_n) =\sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}Z_{\Sigma}(\rho;\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\cdot\chi_{\alpha_1}(\Theta_1)\cdots \chi_{\alpha_n}(\Theta_n)\\ &=\sum_{\alpha}\frac{e^{-\frac{\rho c(\alpha)}{2}}}{(\dim\alpha)^{2g-2+n}}\cdot \prod^n_{i=1}\chi_{\alpha}(\Theta_i) =\sum_{\alpha}\frac{e^{-\frac{\rho c(\alpha)}{2}}}{(\dim\alpha)^{2g-2+n}}\cdot f(\Theta_i,n) \end{aligned}\tag{4.4}$

現在暫時將上面經過簡單計算得到的結果放到一邊。對於黎曼面

$\Sigma$

上平坦的

主叢的模空間

$\mathscr{M}$

，當其上給定了一個復結構以後，

$\mathscr{M}$

可以被視為

$\Sigma$

上的全純叢

$\mathscr{L}$

的模空間。全純叢

$\mathscr{L}$

上自然的帶有一個辛結構

$\omega=\frac{1}{4\pi^2}\int_\Sigma{\rm{Tr}}(\delta A\wedge\delta A)\tag{4.5}$

$\mathscr{L}$

上的第一陳類由關於上述辛結構的de Rham cohomology來給出。Verlinde曾經給出了共形場論中conformal blocks所組成的空間的維數公式，這一公式可以寫成：

$\dim H^0(\mathscr{M},\mathscr{L}^{\otimes k})=\sum_\alpha\frac{1}{S^{^{2g-2}}_{0,\alpha}}\tag{4.6}$

其中這裡的求和指標

$\alpha$

遍歷

階環路群

$\mathscr{L}G$

的所有最大權可積表示，

$S_{\alpha\beta}$

則是出現在這些表示中的矩陣。對於

的情況下，

$\mathscr{L}G$

的所有可積表示的維度為

$1,2,\cdots,k+1$

，對於某個

$0\leq s\leq k$

的

維可積表示，有：

$S_{ij}=\sqrt{\frac{2}{k+1}}\sin\frac{\pi(i+1)(j+1)}{k+2}\tag{4.7}$

那麼根據Verlinde公式就有：

$\dim H^0(\mathscr{M},\mathscr{L}^{\otimes k})=\left(\frac{k+2}{2}\right)^{g-1}\sum^k_{j=0}{\frac{1}{\left[\sin\left( \frac{\pi(j+1)}{k+2}\right)\right]^{2g-2}}}\tag{4.8}$

當

遠遠大於

的情況下時，上面的式子有如下的近似行為：

$\dim H^0(\mathscr{M},\mathscr{L}^{\otimes k})\sim 2\left(\frac{k+2}{2}\right)^{g-1}\sum^k_{j=0}\left[ \frac{k+2}{\pi(j+1)}\right]^{2g-2}\sim \frac{2k^{3g-3}}{2^{g-1}\pi^{2g-2}}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2g-2}}\tag{4.9}$

而另外一方面，根據Riemann-Roch公式，我們有：

$\dim H^0(\mathscr{M},\mathscr{L}^{\otimes k})=\langle e^{kc_1(\mathscr{L})}{\rm{Td}}(\mathscr{M}),\mathscr{M}\rangle \tag{4.10}$

這裡的

${\rm{Td}}(\mathscr{M})$

是Todd類，在

的值很大的情況下上面的式為：

$\dim H^0(\mathscr{M},\mathscr{L}^{\otimes k})\sim \frac{k^{3g-3}}{(3g-3)!}\langle c_1(\mathscr{L})^{3g-3},\mathscr{M}\rangle\tag{4.11}$

由於第一陳類

$c_1(\mathscr{L})$

是透過辛結構

$\omega$

的de Rham cohomology來表示的，所以式

的右邊剛好給出的是模空間

$\mathscr{M}$

的體積

$Vol(\mathscr{M})$

，聯立

和

式我們得到：

$Vol(\mathscr{M})=\frac{2}{\left(2\pi^2\right)^{g-1}}\cdot\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^{2g-2}}=\frac{2\zeta(2g-2)}{\left(2\pi^2\right)^{g-1}}\tag{4.12}$

這正是

情況下模空間的體積公式。如果把

式和

式以及

式進行比較的話可以發現，

$e^2\rho=0$

時，黎曼面上2D Yang-mills理論的配分函式可以寫成

$Z=\zeta(2g-2)$

上面模空間體積的公式則可以表達為：

$Vol(\mathscr{M})=2\cdot Z\cdot e^{\Delta v(2-2g)}\tag{4.13}$

其中的2來自於群

中心的維數，

$\Delta v$

則來自於

$e^2\rho=0$

定義配分函式時的重整化條件。在更一般的情況下，令

$\Sigma$

為帶有固定點

$x_1,\cdots,x_s$

的虧格為

的黎曼面，令

$\Theta_i\sim\left(\begin{array}{cc} e^{\pi i\theta_i}&0\\ 0&e^{-\pi i\theta_i} \end{array}\right)\tag{4.14}$

為

中相應的共軛類。令

$\mathscr{M}_{\left\{\Theta\right\}}$

為

$\Sigma-\left\{x_i\right\}$

上平坦聯絡的模空間，其中環繞

的和樂是在

$\Theta_i$

的共軛類中。此時Verlinde公式為：

$\dim H^0(\mathscr{M}_{\left\{\Theta\right\}},\mathscr{L}^{\otimes k}) =\sum_{j=0}^k\frac{1}{S^{2g-2+s}_{0,j}}\cdot\prod_{j=1}^s S_{r_i,j} \tag{4.15}$

其中

$\theta_i=\frac{r_i}{k}$

，仿照上面的計算過程我們得到：

$\dim H^0(\mathscr{M}_{\left\{\Theta\right\}},\mathscr{L}^{\otimes k}) \sim \frac{2k^{3g-3+s}}{2^{g-1}\pi^{2g-2+s}}\sum_{i=1}^\infty \frac{\mathop{\prod}\limits_{i=1}^s \sin(n\pi\theta_i)}{n^{2g-2+s}}\tag{4.16}$

剩下的繼續仿照前面的計算過程便得到：

$Vol(\mathscr{M}_{\left\{\Theta\right\}})=\frac{2}{2^{g-1}\pi^{2g-2+s}} \sum_{n=1}^\infty\frac{\mathop{\prod}\limits_{i=1}^s \sin (n\pi\theta_i)}{n^{2g-2+s}}\tag{4.17}$

利用

的

維表示的特徵標公式

$\chi_n(\theta)=\frac{\sin(n\pi \theta)}{\sin(\pi\theta)}\tag{4.18}$

於是此時

$\rho=0$

情況下的2D Yang-mills理論中的配分函式為

$Z_{\Sigma}(\left\{\Theta\right\})=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mathop{\prod}\limits_{i=1}^s\frac{\sin(n\pi\theta_i)}{\sin(\pi \theta_i)}}{n^{2g-2+s}}\tag{4.19}$

那麼配分函式與模空間體積之間的關係為：

$Vol(\mathscr{M}_{\left\{\Theta\right\}})=2\cdot Z_{\Sigma}(\left\{\Theta\right\})\cdot e^{(2g-2+s)\Delta v}\cdot \prod_{i=1}^s f(\theta_i)\tag{4.20}$

這裡的

$f(\theta_i)$

為某些類函式，這與前面的關係式也是剛好相符合的。

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