結束了漫長在家的一學期，由於網課緣故再加線上考試，很多知識並不牢固，藉此假期閒餘，整理上學期筆記，對複變函式與積分變換（工科）筆記進行整理複習，有需求的朋友可以學習借鑑。廢話不多說，下面開始第二節解析函式。（因編者能力有限，若有錯誤請諒解並指出）

複變函式複習筆記（2）

1、解析函式的概念

1）複變函式的導數與微分（與實變函式相同，包括求導法則，故略）

2）解析函式概念

如果

f(z)

在

z_0

及其鄰域內處處可導，則

f(z)

解析。若

f(z)

在區域

D

內每一點解析則

f(z)

在

D

內解析。（全純函式，正則函式）

奇點：若

f(z)

在

z_0

不解析，則叫奇點。

區域解析

\Leftrightarrow

區域可導（充要） 點解析

\rightarrow

點可導（充分不必要）

2、函式解析充要條件（柯西-黎曼方程組）

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

在

z=x+iy

處可導

\Updownarrow

（充要條件）

u(x,y)

與

v(x,y)

在（x，y）可微，且滿足柯西-黎曼方程組（以下簡稱C-R方程組）

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

由C-R方程組易得：

f

（導數公式）

3、（復）初等函式

1）指數函式

e^z=e^x(cosy+isiny)

複平面內處處解析

f

當Im(z)=0 \ 則f(x)=e^x\ 且 x=Re(z)

\left| e^z\right|=e^x \ Arg(e^z)=y+2k\pi

e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}

週期性：

e^{z+2k\pi i}=e^z

（上性質皆易用尤拉公式證明）

2）對數函式

若e^w=z(z\ne0) 則 \ w=f(z)為對數函式

記作

W=Lnz

對數函式計算法（

Lnz=lnr+i(argz+2k\pi)(k\in z)

）（

r=\left| z \right|

）

性質：

Ln(z_1\cdot z_2)=Lnz_1+Lnz_2

Ln(\frac{z_1}{ z_2})=Lnz_1-Lnz_2

(Lnz)

3）乘冪與冪函式

a^b=e^{blna}

計算法：

複變函式複習筆記（2）

此外

冪函式\omega=z^b有(z^b)

該函式被稱為單值解析函式（在除原點，復實軸處處可導且解析）

4）三角函式與反三角函式（由尤拉公式易推）

cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\ sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

若為純虛數

cosyi=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\ sinyi=\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}

若z=cos\omega 則\omega=Arccosz

解方程

cos\omega=\frac{1}{2}(e^{i\omega}+e^{-i\omega})

得

e^{i\omega}=z+\sqrt{z^2-1}

其他反三角雷同（後續有待補充）

第二更撒花完結（因編者能力有限，若有錯誤請諒解並指出）