關於高中數學中的複數板塊，我認為共軛複數和模都是重要的知識點，其中共軛複數是更重要的。這是因為複數的模實際上會導致複數集與平面的種種共性，而複數的共軛複數會帶來複數集與平面的區別。

如果將複數看做是平面向量，那麼兩個複數相加和實數與複數相乘的意義都變得明顯，然而兩個複數相乘的意義變得難以理解了。只有深刻地認識共軛複數，才能對複數集，特別是複數集與平面的區別，有深刻而準確的直觀認識。

2 設

z,w\in\mathbb C,

n\in\mathbb N^*

證明

(1)

\overline{zw}=\overline z\,\overline w;

(2)

\overline{z^n}=\overline z^n.

本題十分基礎而有綜合性。首先講如何解答本題，然後講本題的深層意義。

我注意到有些人做這道題使用了複數的三角表示，事實上沒有必要。對於解答問題來說，複數的普通表示和數學歸納法已經足夠了。

（1） 記

z=x+\mathrm iy,

w=u+\mathrm iv,

則

\begin{align}\overline{zw}&=\overline{\left(xu-yv\right)+\mathrm i\left(xv+yu\right)}\\&=\left(xu-yv\right)-\mathrm i\left(xv+yu\right),\end{align}

\begin{align}\overline z\,\overline w&=\left(x-\mathrm iy\right)\left(u-\mathrm iv\right)\\&=\left(xu-yv\right)-\mathrm i\left(xv+yu\right).\end{align}

（2） 當

n=1

時，結論顯然成立。假設當

n=k

時，結論成立，那麼

\overline{z^{k+1}}=\overline{z^kz}=\overline{z^k}\overline z=\overline z^k\overline z=\overline z^{k+1}.

於是當

n=k+1

時，結論成立。

這裡我們指出，雖然新的高中數學大綱認為數學歸納法不是必須掌握的知識點，但是因為凡是需要使用數學歸納法證明的結論，都可以粗略地避免使用數學歸納法敘述，所以出現需要使用數學歸納法的試題並不會被認為超綱。

事實上，在教材中的不等式部分，證明若

0<x<y,

則

x^n<y^n

\left(n\in\mathbb N^*\right)

時，就敘述為對結論若

0<a<b,

0<c<d,

則

ac<bd

使用

n-1

次。採用類似的方法，也可以敘述本題的解答。

接下來說明本題的深層意義，實際上是共軛複數的意義。

設

z\in\mathbb C,

z\ne 0,

則存在

r>0,

\theta\in\mathbb R,

使得

z=r\left(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta\right).

這就是複數的三角表示，稱

\theta

是

z

的幅角，兩邊取模，可知

r

是

z

的模。

設

z=r\left(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta\right),

w=s\left(\cos\iota+\mathrm i\sin\iota\right),

則

\begin{align}\overline z&=r\left(\cos\theta-\mathrm i\sin\theta\right)\\&=r\left(\cos\left(-\theta\right)+\mathrm i\sin\left(-\theta\right)\right).\end{align}

\begin{align} zw&=rs\left(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta\right)\left(\cos\iota+\mathrm i\sin\iota\right)\\ &=rs\left(\left(\cos\theta\cos\iota-\sin\theta\sin\iota\right)+\right.\\ &\qquad\left.\mathrm i\left(\cos\theta\sin\iota+\sin\theta\cos\iota\right)\right)\\ &=rs\left(\cos\left(\theta+\iota\right)+\mathrm i\sin\left(\theta+\iota\right)\right). \end{align}

這是複數的共軛複數和兩個複數相乘的三角表示，也就是說，共軛複數的模相等，幅角相反，兩個複數相乘，將模相乘，將幅角相加。因此

\begin{align} \overline{zw}=rs\left(\cos\left(-\theta-\iota\right)+\mathrm i\sin\left(-\theta-\iota\right)\right), \end{align}

\begin{align}\overline z\,\overline w&=rs\left(\cos\left(-\theta\right)+\mathrm i\sin\left(-\theta\right)\right)\left(\cos\left(-\iota\right)+\mathrm i\sin\left(-\iota\right)\right)\\&=rs\left(\cos\left(-\theta-\iota\right)+\mathrm i\sin\left(-\theta-\iota\right)\right).\end{align}

對兩個複數相乘的結論用數學歸納法，得到

z^n=r^n\left(\cos\left(n\theta\right)+\mathrm i\sin\left(n\theta\right)\right),

稱此結論為 De Moivre 公式。因此

\begin{align}\overline{z^n}&=r^n\left(\cos\left(-\left(n\theta\right)\right)+\mathrm i\sin\left(-\left(n\theta\right)\right)\right),\\&=r^n\left(\cos\left(-n\theta\right)+\mathrm i\sin\left(-n\theta\right)\right),\end{align}

\begin{align}\overline z^n&=r^n\left(\cos\left(n\left(-\theta\right)\right)+\mathrm i\sin\left(n\left(-\theta\right)\right)\right),\\&=r^n\left(\cos\left(-n\theta\right)+\mathrm i\sin\left(-n\theta\right)\right),\end{align}