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In fact, its number of degrees of freedom is uncountable, because the vector space dimension of the space of continuous (differentiable, real analytic) functions on even a finite dimensional Euclidean space is uncountable。 On the other hand, subspaces (of these function spaces) that one typically considers, such as Hilbert spaces (e。g。 the space of square integrable real valued functions) or separable Banach spaces (e。g。 the space of continuous real-valued functions on a compact interval, with the uniform convergence norm), have denumerable (i。 e。 countably infinite) dimension in the category of Banach spaces (though still their Euclidean vector space dimension is uncountable), so in these restricted contexts, the number of degrees of freedom (interpreted now as the vector space dimension of a dense subspace rather than the vector space dimension of the function space of interest itself) is denumerable。
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