∫cosx²dx怎麼求？龔漫奇2021-02-04 06:05:50

這個不定分的結果不是初等函式數，是通常說的是積不出來的。但是由於被積函式是連續的，所以它的不定積分是存在的。利用公式：∫f（x）dx=∫［0→x］f（t）dt+C，可以用計算機求出這個函式的，這個不定積分的一個數值解就是每輸入一個x，就算出一個面積，然後加一個c就可以了。也就是用計算機算定積分∫［0→x］cos（t^2）dt，然後得

∫cos（x^2）dx=∫［0→x］cos（t^2）dt+C。

∫cosx²dx怎麼求？匿名使用者2021-02-04 11:58:24

菲涅爾積分：

C(u):=\int_{0}^{u}\cos(\frac{1}{2}\pi x^2)\text dx\\

\int\cos(x^2)\text dx\xlongequal{x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}t}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\int\cos(\frac{1}{2}\pi t^2)\text dt=\sqrt{\frac{\pi}{2}}C(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)+\small{\mathscr{constant}}\\

∫cosx²dx怎麼求？海闊天空2021-02-05 17:54:22

這個結果就是著名的菲涅耳積分，一種可行的解答如下

\[\begin{align} & Fresnel積分：\int_{0}^{+\infty }{\cos {{x}^{2}}dx}=\int_{0}^{+\infty }{\sin {{x}^{2}}dx}=\sqrt{\frac{\pi }{8}} \\ \end{align}\]

\[\begin{align} 證明 :&設t>0，記F\left( t \right)=\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{x}^{2}}}}\cos {{x}^{2}}dx},G\left( t \right)=\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{x}^{2}}}}\sin {{x}^{2}}dx} \\ & {{\left( F\left( t \right) \right)}^{2}}-{{\left( G\left( t \right) \right)}^{2}}=\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{x}^{2}}}}\cos {{x}^{2}}dx}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{y}^{2}}}}\cos {{y}^{2}}dy}-\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{x}^{2}}}}\sin {{x}^{2}}dx}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{y}^{2}}}}\sin {{y}^{2}}dy} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int_{0}^{+\infty }{\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}}\cos \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\int_{0}^{+\infty }{r{{e}^{-t{{r}^{2}}}}\cos {{r}^{2}}drd\theta }} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\pi }{4}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-tu}}\cos udu}=\frac{\pi }{4}\frac{t}{{{t}^{2}}+1} \\ & 2F\left( t \right)G\left( t \right)=\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{x}^{2}}}}\cos {{x}^{2}}dx}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{y}^{2}}}}\sin {{y}^{2}}dy}+\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{x}^{2}}}}\cos {{x}^{2}}dx}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t{{y}^{2}}}}\sin {{y}^{2}}dy} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int_{0}^{+\infty }{\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-t\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}}\sin \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\int_{0}^{+\infty }{r{{e}^{-t{{r}^{2}}}}\sin {{r}^{2}}drd\theta }} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\pi }{4}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-tu}}\sin udu}=\frac{\pi }{4}\frac{1}{{{t}^{2}}+1} \\ & \therefore {{\left( {{\left( F\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( G\left( t \right) \right)}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{\left( F\left( t \right) \right)}^{2}}-{{\left( G\left( t \right) \right)}^{2}} \right)}^{2}}+4{{F}^{2}}\left( t \right){{G}^{2}}\left( t \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{\left( \frac{\pi }{4} \right)}^{2}}\frac{1}{{{t}^{2}}+1} \\ & \therefore {{\left( F\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( G\left( t \right) \right)}^{2}}=\frac{\pi }{4}\frac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}{{{t}^{2}}+1} \\ & \therefore F\left( t \right)=\sqrt{\frac{\pi }{8}\frac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}+t}{{{t}^{2}}+1}}G\left( t \right)=\sqrt{\frac{\pi }{8}\frac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}-t}{{{t}^{2}}+1}} \\ & \therefore \int_{0}^{+\infty }{\cos {{x}^{2}}dx}=G\left( 0 \right)=\sqrt{\frac{\pi }{8}}\int_{0}^{+\infty }{\sin {{x}^{2}}dx}=F\left( 0 \right)=\sqrt{\frac{\pi }{8}} \\ \end{align}\]

當然這個函式是沒有初等函式形式的原函式的，可以嘗試用這種含參的二重積分的方式去處理

很多這種沒有原函式的積分（比如Dirichlet積分、Laplace積分、Poisson積分等）都是用這種方式處理的，但是這種處理方式的難點就在於含參二重積分式的構造不易想到，這裡用到的處理方式還算得上是較為容易的一種。

當然菲涅耳積分有很多種做法，這裡只是選取了一種較為簡潔的一種做法。

∫cosx²dx怎麼求？木乙己2021-02-09 08:06:45

這不大名鼎鼎的菲涅爾積分嗎？解法很暴力的，技術展開硬套

∫cosx²dx怎麼求？團雀兒Msquit2021-08-09 12:09:55

f（z）=e^（iz²）

積分路徑C由C1C2C3組成，θ=π/4，扇形半徑為R

∫cosx²dx怎麼求？

由於沒有奇點，∫C f（z）dz=0

而 ∫C2 f（z）dz

=iR ∫（0，π/4）e^（-R²θ（cos2θ-isin2θ））dθ R→∞，∫C2 f（z）dz→0

因此當R→+∞時

∫C1 f（z）dz+ ∫C3 f（z）dz=0，即

∫（0，+∞）e^（ix²）-e^（πi/4-x²） dx=0

由於 ∫（0，+∞）e^（-x²）dx=1/2√π，分別考慮上式實部虛部得出

∫（0，+∞）sinx²dx= ∫（0，+∞）cosx²dx=√（π/8）

∫cosx²dx怎麼求？

一條活潑的分割線（*/∇＼*）

∫cosx²dx怎麼求？

另一種不要複分析的方法

換t=x²，

∫（0，+∞）sinx²dx=1/2 ∫（0，+∞）dt·sint/√t=

1/√π ∫D （sint/√t）e^（-tu²）du

（D為以t，u為座標的整個第一象限）

先對t積分得

I=1/√π ∫（0，+∞）1/（1+u⁴）du=√（π/8）

引入參變數求導法與這個等價，但是更清晰，如果有很閒的時候可以寫一寫

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