MFG中的幾個toy model（2）：economic growth model。

簡介

本文目的是：基於人力資本（ human capital ）來研究經濟增長模型。

主要想法是：人們會努力增加自己的人力資本，以此獲得更高的工資；增加自己人力資本的方法有兩種，①增加自己的競爭力，②減少和其他人的競爭

考慮無窮多人，每個人初始的人力資本

q \sim m_0(q)

， 記累計分佈函式為

F,\bar{F}=1-F

為尾分佈；現實中，

m(t,q)

關於

q

單調遞減。

\frac{dq}{dt}=a,dq=(a+bq_t )dt+\sigma(cq_t) dW_t

假設

工資函式取為Cobb–Douglas生產函式 （Cobb–Douglas production function ）

w(q, m)=\left\{\begin{align}{} &C \frac{q^{\alpha}}{m(t, q)^{\beta}}, & q \in supp\{m(t, \cdot)\} \\ &0 & q \notin supp\{m(t, \cdot)\} \end{align}\right. \\

增加自己的人力資本所付出的代價為：

H\left(\frac{d q}{d t}, \bar{F}(t, q)\right)=\frac{E}{\varphi} \frac{\left(\frac{d q}{d t}\right)^{\varphi}}{\bar{F}(t, q)^{\delta}}, \quad \forall q\in supp\{\bar F\} \\

其中，引數

\alpha,\beta,\varphi,\delta>0

最後，人力資本的初始分佈，假設為Pareto分佈：

m(0, q)=k \frac{1}{q^{k+1}} 1_{q \geq 1} \\

最佳化問題與對應的PDE

初始人力資本為

q

的人，他的最佳化問題為：

\operatorname{Max}_{\left(q_{s}\right), q_{0}=q} \int_{0}^{\infty}\left[w\left(q_{s}, m\left(s, q_{s}\right)\right)-H\left(a\left(s, q_{s}\right), \bar{F}\left(s, q_{s}\right)\right)\right] e^{-r s} d s \\

定義Bellman函式：

J(t, q)=\operatorname{Max}_{\left(q_{s}\right), q_{t}=q} \int_{t}^{\infty}\left[w\left(q_{s}, m\left(s, q_{s}\right)\right)-H\left(a\left(s, q_{s}\right), \bar{F}\left(s, q_{s}\right)\right)\right] e^{-r(s-t)} d s \\

關於

J

和

m

的MFG方程組為：

\left\{\begin{align}{} (H J B) &\quad w(q, m(t, q))+\partial_{t} J+M a x_{a}\left(a \partial_{q} J-H(a, \bar{F}(t, q))\right)-r J=0 \\ (\text {Kolmogorov})& \quad \partial_{t} m(t, q)+\partial_{q}(a(t, q) m(t, q))=0 \end{align}\right. \\

其中

a(t, q)=\operatorname{Arg} \operatorname{Max}_{a}\left(a \partial_{q} J-H(a, \bar{F}(t, q))\right)

是最優控制。

代入具體形式：

\begin{align} &C \frac{q^{\alpha}}{m(t, q)^{\beta}}+ \frac{\varphi-1}{\varphi} \frac{1}{E^{\frac{1}{\varphi-1}}} \bar{F}(t, q)^{\frac{\beta}{\varphi-1}}\left(\partial_{q} J\right)^{\frac{\varphi}{\varphi-1}}+\partial_{t} J-r J=0 \\ &\partial_{t} m(t, q)+\partial_{q}\left(\left(\frac{\bar{F}(t, q)^{\beta}}{E} \partial_{q} J(t, q)\right)^{\frac{1}{\varphi-1}} m(t, q)\right) =0 \end{align} \\

最優控制為：

a(t, q)=\left(\frac{\bar{F}(t, q)^{\beta}}{E} \partial_{q} J(t, q)\right)^{\frac{1}{\varphi-1}} \\

HJB-FPK方程組求解

定理:

如果

\varphi(\varphi-1)<\beta k

， 則

\exist ! \gamma

，

\exists

唯一

(J,m)

滿足PDE方程組以及額外關於最優控制的方程：

a(t,q)=\gamma q

。 進一步，解有顯示錶達式：

\begin{array}{c} m(t, q)=k \frac{\exp (\gamma k t)}{q^{k+1}} 1_{q \geq \exp (\gamma t)} \\ J(t, q)=B \exp (-\beta k \gamma t) q^{\beta k+\varphi} 1_{q \geq \exp (\gamma t)} \end{array} \\

其中

B

為：

\gamma=\left(\frac{B}{E}(\beta k+\varphi)\right)^{\frac{1}{\varphi-1}}

pf:

首先，額外條件代表增長率為常數，從而保持

m(t, \cdot)

為Pareto分佈。

對於

\partial_{q} J(t, q)

，當

q \geq \exp (\gamma t)

時

\partial_{q} J(t, q)=E(\gamma q)^{\varphi-1} \bar{F}(t, q)^{-\beta}=E(\gamma q)^{\varphi-1} e^{-\beta k \gamma t} q^{\beta k} \\

因此，

J(t, q)=\frac{E}{\beta k+\varphi} \gamma^{\varphi-1} e^{-\beta k \gamma t} q^{\beta k+\varphi} \\

代入Hamilton-Jacobi-Bellman方程：

\begin{array}{c} \frac{C}{k^{\beta}} q^{\beta k+\varphi} e^{-\beta k \gamma t}+\frac{\varphi-1}{\varphi} E \gamma^{\varphi} q^{\beta k+\varphi} e^{-\beta k \gamma t} \\ -\beta k \gamma \frac{E}{\beta k+\varphi} \gamma^{\varphi-1} e^{-\beta k \gamma t} q^{\beta k+\varphi}-r \frac{E}{\beta k+\varphi} \gamma^{\varphi-1} e^{-\beta k \gamma t} q^{\beta k+\varphi}=r D \end{array} \\

從而：

\frac{C}{k^{\beta}}+\frac{\varphi-1}{\varphi} E \gamma^{\varphi}-\beta k \frac{E}{\beta k+\varphi} \gamma^{\varphi}-r \frac{E}{\beta k+\varphi} \gamma^{\varphi-1}=0 \\

\frac{C}{k^{\beta}}+\frac{(\varphi-1) \varphi-k \beta}{\varphi(k \beta+\varphi)} E \gamma^{\varphi}-r \frac{E}{\beta k+\varphi} \gamma^{\varphi-1}=0 \\

由於

\varphi(\varphi-1)<\beta k, \gamma

有唯一解。

\square

總結

MFG問題中，解的存在唯一性通常是不滿足的，即便加上線性的條件，如線性二次問題，也只能在充分短時間內給出存在唯一性。這個模型是非線性的，所以同樣不能保證唯一性，然而卻有一組顯式解，並且是符合現實經驗分佈的。這一點還是比較神奇的，我也驗證了好半天才確認這個顯式解是正確的，最後也從經濟學角度說服了自己這個結論是自然的。