Monetary Theory

研究問題：

①如何在宏觀模型中研究貨幣？

CIA，MIU，OLG，Shopping time

②經濟中為何存在貨幣？

尋找&匹配，跨時貿易

③什麼是最優貨幣政策？

貨幣（超）中性，Friedman法則

1。The Money-in-Utility Model and the Friedman Rule

貨幣效用模型和Friedman法則

1.1 The Sidrauski(1967) MIU Model(Flexible Prices)

家庭：

貨幣經濟中的基本經濟單元是代表性家庭，家庭中每個人在每一個時間點上的效用為

U_t=U(c_t,z_t)

，其中

c_t

代表消費，

z_t

代表每單位資本的資本服務流量

為了簡化，我們假定資本服務流量與現金持有量成正比且比例為1，即

z_t=m_t=\frac{M_t}{p_tN_t}

，其中

M_t=M_t^d

代表每個家庭持有的名義貨幣量，

N_t

代表家庭中的個體數，

p_t

代表經濟中生產的唯一商品的貨幣價格

即時效用函式可以寫為

U_t=U(c_t,m_t)

，單調遞增且為凹函式

代表性家庭的跨時效用為：

W=\int_{t=0}^\infty e^{-\rho t}U(c_t,m_t)N_tdt=N_0\int_{t=0}^\infty e^{-(\rho-n)t}U(c_t,m_t)dt\quad(1)

其中

\rho

為貼現率，且

\rho-n>0

代表性家庭的FBC為：

p_t[c_tN_t+\dot{(k_tN_t)}+\delta(k_tN_t)]+\dot{(m_tp_tN_t)}=p_t(R_tk_tN_t+w_tN_t)+p_tx_tN_t\quad(2)

其中

k_t

為單位個體持有的資本量，

R_t

為毛實際利率，

r_t=R_t-\delta

為淨實際利率，

w_t

為實際工資率，

x_t

為單位個體從政府獲得的轉移支付

在理性預期下，預期通貨膨脹率與實際通貨膨脹率相等，即

\pi_t=\frac{\dot{p_t}}{p_t}

將

(2)

式左右兩端同除以

p_tN_t

，得：

c_t+\dot{k}_t+nk_t+\delta k_t+\dot{m}_t+\frac{\dot{p}_t}{p_t}m_t+nm_t=R_tk_t+w_t+x_t

定義：

a_t=k_t+m_t\quad(3)

則FBC可以化為：

\dot{a}_t=(R_t-\delta-n)k_t+w_t-(\pi_t+n)m_t-c_t+x_t\quad(4)

代表性家庭應當在約束

(3)

和

(4)

的條件下，最大化

(1)

，並設定Lagrangian函式：

\mathcal{L}=U(c_t,m_t)+\lambda_t[(R_t-\delta-n)k_t+w_t-(\pi_t+n)m_t-c_t+x_t]+\mu _t(k_t+m_t-a_t)

有一階條件：

\begin{align*}c&:U_c=\lambda_t\quad(5)\\m&:U_m=\lambda_t(\pi_t+n)-\mu_t\quad(6)\\k&:\lambda_t(R_t-\delta-n)=-\mu_t\quad(7)\\a&:-\mu_t=(\rho-n)\lambda_t-\dot{\lambda}_t\quad(8)\end{align*}

由

(5)(6)(7)

，得：

\frac{U_m}{U_c}=r_t+\pi_t\quad(9)

由

(5)(7)(8)

，得：

\dot{c}_t=-\frac{U_{cm}}{U_{cc}}\dot{m}_t-\frac{U_c}{U_{cc}}(r_t-\rho)\quad(10)

公司：

公司的行為由兩個邊際生產條件確定：

R_t=f^{\prime}(k_t),\quad w_t=f(k_t)-k_tf^{\prime}(k_t)\quad(11)

政府

：

政府的貨幣供給增長率為常數

\theta

，即

\frac{\dot{M}_t}{M_t}=\theta\quad(12)

且有預算平衡：

x_tp_tN_t=\dot{M}_t\quad(13)

均衡：

比較均衡要求貨幣市場出清，即

M_t^d=M_t^s=M_t

且商品市場出清，即

c_t+\dot{k}_t+(\delta+n)k_t=f(k_t)\quad(14)

將

(11)

和

r_t=R_t-\delta

代入

(10)

，得：

\dot{c}_t=-\frac{U_{cm}}{U_{cc}}\dot{m}_t-\frac{U_c}{U_{cc}}(f^{\prime}(k_t)-\delta-\rho)\quad(15)

對

m_t=\frac{M_t}{p_tN_t}

兩側同時求導，得：

\frac{\dot{m}_t}{m_t}=\frac{\dot{M}_t}{M_t}-\frac{\dot{p}_t}{p_t}-\frac{\dot{N}_t}{N_t}=\theta-\pi_t-n

將

(9)(11)

和

r_t=R_t-\delta

代入上式，得：

\dot{m}_t=[f^{\prime}(k_t)+\theta-(n+\delta+\frac{U_m}{U_c})]m_t\quad(16)

(14)

可以寫成：

\dot{k}_t=f(k_t)-c_t-(\delta+n)k_t\quad(17)

如

(15)(16)(17)

，我們獲得了

(c_t,m_t,k_t)

三個變數的非線性動力系統，其中

c_t,m_t

為控制變數，

k_t

為狀態變數

貨幣超中性：

資本和消費的平衡狀態可以解為：

k^*=f^{\prime-1}(\delta+\rho),\quad c^*=f(k^*)-(\delta+n)k^*

上述等式說明了資本和消費都不依賴於貨幣供給增長率

\theta

，即在此語義下，“貨幣超中性”意味著貨幣供給不影響長期的資本和消費

第二個等式說明了貨幣供給增長率的增加，降低了現金均衡狀態，意味著提高了通貨膨脹率

與

(9)

聯立可得：

\pi^*=\theta-n

Friedman法則：

我們選擇最佳的貨幣供給增長率

\theta

來最大化效用以證明Friedman法則

\begin{align*}\max_\theta W^*&=N_0\int_{t=0}^\infty e^{-(\rho-n)t}U(c^*,m^*)dt\\&=N_0U(c^*,m^*)\frac{1}{-(\rho-n)}e^{-(\rho-n)t}|_{t=0}^\infty\\&=\frac{N_0}{\rho-n}U(c^*,m^*)\end{align*}

一階條件為：

U_c(c^*,m^*)\frac{\partial c^*}{\partial \theta}+U_m(c^*,m^*)\frac{\partial m^*}{\partial \theta}=0

，進而

U_m(c^*,m^*)=0

在均衡狀態下，名義利率為零，即

i^*=r^*+\pi^*=0

直覺：

印刷紙幣的邊際代價幾乎為零，因此邊際收益應該為零

假定

n=0

，那麼最優貨幣政策應該是收縮的，即

\theta^*=-\rho

1.2 The Calvo(1983) Staggered Pricing Model(Sticky Prices)

貢獻：

①提供了一個宏觀Keynesian模型：交錯價格—>粘性價格

②奠定了新Keynesian模型：剛性價格

③在Keynesian框架中重新發掘了Friedman法則

④講解了一個非常熱門的貨幣話題：貨幣政策的中觀情況

（1）生產端的基本假定

有大量相同的公司處於

[0,1]

區間，滿足：

假定1.

利潤最大化的公司將設定產量

y_t=\begin{cases}demand&,\quad if\quad demand\leq \bar{y}\\\bar{y}&,\quad if\quad demand>\bar{y}\end{cases}

，其中

y^2

為最大生產水平

在允許的空間內，供給由需求決定，說明模型是標準Keynesian框架

假定2.

每個公司都能以最大值

y^2

零代價進行生產，並且假設產品不可儲藏，即沒有資本積累，沒有勞動力僱傭，產出為嚴格外生

假定3.

每個公司智慧在收到價格變更訊號時，改變其價格

（2）Calvo（1983）交錯價格

假定訊號分階段獨立達到，並且公司改變價格的決定也分階段獨立

令

\rho=\frac{\delta k}{1+\delta k}

為

t

時刻訊號到來且改變價格的機率，其中

\delta>0

且

k

為每個階段的時間長

令

h

為時間的跨度，則

\frac{h}{k}

為時間跨度內的階段數

(1-\rho)^{\frac{h}{k}}

為時間跨度

h

內不改變價格的機率，令

k\rightarrow0

，得：

\lim_{k\rightarrow0}(1-\rho)^{\frac{h}{k}}=e^{-\delta h}

得時間跨度

h

內價格改變的分佈函式為

P(X\leq h)=F(h)=1-e^{-\delta h}

且有機率密度函式

f(h)=F^{\prime}(h)=\delta e^{-\delta h}

，數學期望

\mathbb{E}(X)=\int hf(h)dh=\frac{1}{\delta}

單位公司的價格函式為

V_t=\int_{s=t}^\infty (P_s+\beta E_s)\delta e^{-\delta(s-t)}ds

其中

V_t

為

t

時刻報價水平的對數，

P_s

為

s

時刻價格水平的對數，

E_s=y_s-\bar{y}

為

s

時刻的超額供給，

\beta

為與超額供給相關的係數，

\delta e^{-\delta(s-t)}

為機率密度

Note1.

t

時刻報價是價格水平與超額供給的增函式

Note2.

未來每一時刻的價格水平和超額供給都會影響此時的報價水平，且有權重：

\int_{s=t}^\infty\delta e^{-\delta(s-t)}ds=1

Note3.

由理性預期假設，

P_s,E_s

同時為預期值和實際值

Note4.

僅當模型的需求端為公司，

V_t

作為未來的函式可以被確定

合成價格水平由下式決定：

P_t=\int_{s=-\infty}^tV_s\delta e^{-\delta(t-s)}ds

，由過去的價格決定且具有粘性

注意到

E_t

對時間

t

連續，得

V_t,P_t

對時間可導，且有：

\begin{align*}\dot{V}_t&=\frac{d}{dt}\int_{s=t}^\infty(P_s+\beta E_s)\delta e^{-\delta(s-t)}ds\\&=\frac{d}{dt}[e^{\delta t}\int_{s=t}^\infty(P_s+\beta E_s)\delta e^{-\delta s}]\\&=\delta(V_t-P_t-\beta E_t)\end{align*}

；

\begin{align*}\dot{P}_t&=\frac{d}{dt}\int_{s=-\infty}^t V_s\delta e^{-\delta(t-s)}ds\\&=\frac{d}{dt}\int_{s=-\infty}^t V_s\delta e^{\delta s}ds\\&=\delta(V_t-P_t)\end{align*}

理性預期假設要求預期的通貨膨脹率等於實際的通貨膨脹率，即

\Pi_t=\dot{P}_t

，我們有：

\dot{\Pi}_t=\ddot{P}_t=\delta(\dot{V}_t-\dot{P}_t)=-\beta\delta^2E_t=-bE_t=-b(y_t-\bar{y})\quad(18)

其中

b=\beta\delta^2

，說明通貨膨脹的改變數

\dot{\Pi}_t

與超額供給成正比且遞減，且

\Pi_t

為跳躍變數

（3）合成一般均衡模型

家庭：

由

\{\Pi_t,y_t,x_t\}

和

m_0=e^{M_0-P_0}

給定，一個代表性個體應該解決如下最大化問題：

\max_{\{c_t,m_t\}_{t=0}^\infty}\int_{t=0}^\infty e^{-\rho t}[u(c_t)+v(m_t)]dt\qquad s.t.\quad \dot{m}_t=y_t-c_t-\Pi_tm_t+x_t\quad(19)

其中

c_t

是單位消費，

m_t=e^{M_t-P_t}

為單位實際現金持有量，

y_t

為外生單位實際收入，

x_t

為從政府獲得的單位轉移支付，

u(c_t),v(m_t)

均單調遞增且凹，並設定Hamiltonian函式：

\mathcal{L}=e^{-\rho t}[u(c_t)+v(m_t)]+\lambda_t[y_t-c_t-\Pi_tm_t+x_t]

有FOCs：

\begin{align*}c&:e^{-\rho t}u^\prime(c_t)=\lambda_t\\m&:e^{-\rho t}v^\prime(m_t)-\lambda_t\Pi_t=-\dot{\lambda}_t\end{align*}

聯立得：

\dot{c}_t=-\frac{u^\prime(c_t)}{u^{\prime\prime}(c_t)}[\frac{v^\prime(m_t)}{u^\prime(c_t)}-\rho-\Pi_t]\quad(20)

政府：

\dot{M}_t=\mu_t

（貨幣政策）

(x_t+g_t)e^{P_t}=\dot{M}_te^{M_t}

（財政政策）

其中，

\mu_t

為隨時間變化的貨幣增長率，

g_t

為單位實際政府消費，

(x_t+g_t)e^{P_t}

為名義政府支出，

\dot{M}_te^{M_t}

為名義貨幣供給

平衡狀態：

M_t^d=M_t^s=M_t

（貨幣市場出清）

c_t+g_t=y_t

（產品市場出清）

由貨幣市場出清條件和單位實際現金持有量的定義，得：

\dot{m}_t=(\mu_t-\Pi_t)m_t

動態系統可以被總結如下：

\begin{align*}\dot{c}_t&=-\frac{u^\prime(c_t)}{u^{\prime\prime}(c_t)}[\frac{v^\prime(m_t)}{u^\prime(c_t)}-\rho-\Pi_t]\\\dot{m}_t&=(\mu_t-\Pi_t)m_t\\\dot{\Pi}_t&=-b(c_t+g_t-\bar{y})\end{align*}

其中

m_t

是狀態變數，

c_t,\Pi_t

是控制變數

考慮常數的政府消費和貨幣增長，得：

g_t=\bar{g},\mu_t=\bar{\mu}

系統可以被改寫為：

\begin{align*}\dot{c}_t&=-\frac{u^\prime(c_t)}{u^{\prime\prime}(c_t)}[\frac{v^\prime(m_t)}{u^\prime(c_t)}-\rho-\Pi_t]\\\dot{m}_t&=(\bar{\mu}-\Pi_t)m_t\\\dot{\Pi}_t&=-b(c_t+\bar{g}-\bar{y})\end{align*}

均衡狀態

(c^*,m^*,\Pi^*)

有唯一解：

\begin{align*}\frac{v^\prime(m^*)}{u^\prime(c^*)}&=\rho+\Pi^*\\\bar{\mu}&=\Pi^*\\c^*&=\bar{y}-\bar{g}\end{align*}

解得：

\begin{align*}m^*&=v^{\prime-1}[(\rho+\bar{\mu})u^\prime(\bar{y}-\bar{g})]\\\Pi^*&=\bar{\mu}\\c^*&=\bar{y}-\bar{g}\end{align*}

平衡狀態的馬鞍點性質可由下列線性系統檢驗：

\begin{bmatrix}\dot{c}_t\\\dot{m}_t\\\dot{\Pi}_t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{v^\prime(m^*)}{u^\prime(c^*)}&-\frac{v^{\prime\prime}(m^*)}{u^{\prime\prime}(c^*)}&\frac{u^\prime(m^*)}{u^{\prime\prime}(c^*)}\\0&0&-m^*\\-b&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_t-c^*\\m_t-m^*\\\Pi_t-\Pi^*\end{bmatrix}=J_0\begin{bmatrix}c_t-c^*\\m_t-m^*\\\Pi_t-\Pi^*\end{bmatrix}

由

\det(J_0)=-bm^*\frac{v^{\prime\prime}(m^*)}{u^{\prime\prime}(c^*)}=\lambda_1\lambda_2\lambda_3<0

，說明必為以下三種情況之一：

①兩個正根和一個負根

②兩個正實部共軛虛根和一個負根

③兩個負實部共軛虛根和一個負根

由

tr(J_0)=\frac{v^\prime(m^*)}{u^\prime(c^*)}=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3>0

，說明可能性

(3)

應當被排除，則平衡狀態為馬鞍點，給定初始狀態變數有唯一的平衡路徑

靜態均衡比較分析：

全微分方程為：

\begin{bmatrix}dc^*\\dm^*\\d\Pi^*\end{bmatrix}=A^{-1}B\begin{bmatrix}d\rho\\d\overline \mu\\d\overline y\\d\overline g\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d\overline y-d\overline g\\\frac{u^{\prime}}{v^{\prime\prime}}d\rho+\frac{u^{\prime}}{v^{\prime\prime}}d\overline\mu+\frac{u^{\prime\prime}}{v^{\prime\prime}}\frac{v^\prime}{u^\prime}d\overline y-\frac{u^{\prime\prime}}{v^{\prime\prime}}\frac{v^\prime}{u^\prime}d\overline g\\d\overline\mu\end{bmatrix}

其中

A=\begin{bmatrix}-\frac{v^\prime u^{\prime\prime}}{u^{\prime2}}&\frac{v^{\prime\prime}}{u^\prime}&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}

①長期貨幣政策：

d\bar{\mu}>0

，貨幣超中性

\frac{dc^*}{d\bar{\mu}}=0

，說明由Sidrauski（1967，AER）首次檢驗的貨幣超中性成立，永久性的貨幣政策的改變，在長期對消費沒有影響

\frac{dm^*}{d\bar{\mu}}=\frac{u^\prime}{v^{\prime\prime}}<0

，說明增加的鑄幣稅相當於持有現金的機會成本，會減少家庭持有現金量

\frac{\Pi^*}{d\bar{\mu}}=1

，說明在長期，貨幣供給的增加會

1：1

傳導至通貨膨脹，通貨膨脹是且總是貨幣現象

②長期財政政策：

d\bar{g}>0

，政府消費擴張

\frac{dc^*}{d\bar{g}}=-1

，說明政府消費會

1:1

擠出個人消費

\frac{dm^*}{d\bar{g}}=-\frac{u^{\prime\prime}v^\prime}{v^{\prime\prime}u^\prime}<0

，說明由於個人消費的降低，家庭持有現金量也會減少

\frac{d\Pi^*}{d\bar{g}}=0

，說明財政政策（政府消費）對於通貨膨脹沒有影響

（4）最優貨幣政策

定義平衡狀態下的總效用為：

W^*=\int_{t=0}^\infty e^{-\rho t}[u(c^*)+v(m^*)]dt=\frac{1}{\rho}[u(c^*)+v(m^*)]

政府的最最佳化問題：

\max_\bar{\mu} W^*=\frac{1}{\rho}[u(c^*)+v(m^*)]

一階條件：

v^\prime(m^*)=(\rho+\bar{\mu})u^\prime(\bar{y}-\bar{g})=0\Rightarrow \rho+\bar{\mu}=0

因此，最最佳化貨幣政策滿足Friedman法則：

\bar{\mu}=-\rho

說明最優的貨幣增長率是貼現率的負數

平衡狀態下，

\rho=r^*,\bar{\mu}=\pi^*

說明Friedman法則中，名義利率為零：

i^*=r^*+\Pi^*=\rho+\bar{\mu}=0

同時注意到沒有最優的財政政策，是因為：

\frac{dW^*}{d\bar{g}}=\frac{1}{\rho}[u^\prime(c^*)\frac{dc^*}{d\bar{g}}+v^\prime(m^*)\frac{dm^*}{d\bar{g}}]<0

說明政府消費的增長，會降低平衡狀態下的總效用

（5）不定性的可能性：挑選名義利率

①重新發現名義利率

有兩種方式發現如下等式：

i_t=\frac{v^\prime(m_t)}{u^\prime(c_t)}

其一為直覺，即消費和實際現金持有量的邊際值之比為利率

其二為引入證券

b_t

，給定

b_0

，並解決最最佳化問題：

\max_{\{c_t,m_t,b_t\}}\int_{t=0}^\infty e^{-\rho t}[u(c_t)+v(m_t)]dt\qquad s.t.\quad \dot{m}_t+\dot{b}_t=y_t-c_t+r_tb_t-\Pi_tm_t+x_t

定義新的狀態變數：

a_t=b_t+m_t

則約束變為：

\dot{a}_t=y_t-c_t+r_tb_t-\Pi_tm_t+x_t,\quad a_t=b_t+m_t

構建Lagrangian函式：

\mathcal{L}=u(c_t)+v(m_t)+\lambda_t(y_t-c_t+r_tb_t-\Pi_tm_t+x_t)+\gamma_t(a_t-b_t-m_t)

最優性條件給出：

\begin{align*}\frac{v^\prime(m_t)}{u^\prime(c_t)}&=r_t+\Pi_t=i_t\\\dot{c}_t&=-\frac{u^\prime(c_t)}{u^{\prime\prime}(c_t)}(r_t-\rho)\end{align*}

我們同樣可以從政府債券中發現最優性條件

②挑選名義利率產生的基本不定性

如果政府挑選利率：

i_t=\bar{i}

，則

\frac{v^\prime(m_)}{u^\prime(c_t)}=\bar{i}

帶入到

(c_t,m_t,\Pi_t)

三維動態系統中，得到一個

(c_t,\Pi_t)

二維繫統，即：

\begin{align*}\dot{c}_t&=-\frac{u^\prime(c_t)}{u^{\prime\prime}(c_t)}[\bar{i}-\rho-\Pi_t]\\\dot{\Pi}_t&=-b(c_t+\bar{g}-\bar{y})\end{align*}

其中

m

由

\frac{v^\prime(m_)}{u^\prime(c_t)}=\bar{i}

決定

平衡狀態

(c^*,\Pi^*)

可以由代數方程解出：

\begin{align*}\bar{i}&=\rho+\Pi^*\\c^*&=\bar{y}-\bar{g}\end{align*}

得到如下線性系統：

\begin{bmatrix}\dot{c}_t\\\dot{\Pi}_t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac{u^\prime(c^*)}{u^{\prime\prime}(c^*)}\\-b&0\end{bmatrix}=J_1\begin{bmatrix}c_t-c^*\\\Pi_t-\Pi^*\end{bmatrix}

其中

\det(J_1)=b\frac{u^\prime(c^*)}{u^{\prime\prime}(c^*)}=\lambda_1\lambda_2<0

，說明有一個正根和一個負根

由於模型中沒有先決變數，即

(c_0,\Pi_0)

未給定

由均衡假定，所有

(c_0,\Pi_0)

都會收斂到平衡狀態，且平衡狀態是基本不確定的，即平衡路徑不確定

如果檢視

(c,m,\Pi)

三維動態系統，會發現兩個穩定根，而只有一個狀態變數