如何理解部分分式積分法

部分分式積分法用於求形如以下式子的積分：

例如，使用部分分式積分法求解：

可以把要積分的式子化簡為兩個部分分式之和：

然後分別對兩個分式進行求積分：

第一步：分離出真分式

在上式中，當

最高次冪小於

中最高次冪，我們稱

為一個真分式。例如：

最高次冪是1，

最高次冪是2，因此它是一個真分式。

我們可以類比，分子小於分母的分數，被稱為真分數。例如，

就是一個真分數，而

是一個假分數。

正如我們可以把一個假分數簡化成一個整數加上一個真分數：

方法是用

除以

得到

，餘

。

同理，當

不是一個真分式，也可以透過分式除法化簡成一個多項式加上一個真分式的形式：

注：

對於學習過進位制的同學，可以更好地理解這一點。如果我們站在10進位制的角度來看，123其實是一個十進位制的“多項式”：

因此，我們可以把

這個多項式看成一個

進位制的數。因此，除法和分式除法並沒有本質的區別。只是一個是10進位制下的，一個是

進位制下的。

現在，我們看看如何把一個假分式化簡成一個多項式加上一個真分式的形式。

我們小學中學到的除法式是這樣的：

分式除法跟這個是一樣的。設求解的分式如下：

首先，兩個式子中的項按

的冪進行排列，並且補足缺失的

的整數冪的項：

用分式除法寫下來：

再繼續除：

因此：

如果你對這種方法很熟悉，或者能夠理解前面“注”中進位制的角度，你可以直接像小學除法式那樣除，我們把

全部扔掉，只拿出係數來處理。只是要注意一個區別，那就是係數在這裡可以是一個負數，因此在做相減時，不進行借位：

第二步：對真分式的分母進行因式分解

首先，實係數多項式因式分解定理告訴我們，一個多項式可以被分解為若干個一次因式

和若干個二次因式

相乘。即一個多項式，可以分解為以下四種因子：

如果真因式

中的分母

屬於上面四種情況之一，那麼我們就直接完成了分母的因式分解。如果不是，那麼

就是一個三次方以上的多項式，我們就要想辦法把這個多項式分解為以上四種因子。

因式分解也是一個求根問題，如果它分解後的根不是整數，一般會比較複雜，特別是高次冪的多項式分解。對於這些問題，可以透過畫影象等其他方式解決。因式分解是另一個數學問題，有一點超出討論範圍了，所以我們不打算深入討論。我們只講一講在解題過程中，進行快速地因式分解的思路。

解題時之所以能夠快速因式分解，其實是出題人保證了它可以被快速分解。

設我們要分解一個四次方的多項式：

有些人可能會說，

前面有一個係數

，最後分解出來的因子能符合上面四種因子嗎？其實我們只要把

，提取掉變成

就行了，這是完全不影響我們之前的結論的。

先設這個多項式可以分解為兩個因子，其中一個為線性式

：

在試題中，係數通常是整數。即

應該可以整除

，而

可以整除

。這樣我們就把

和

限定在比較小的範圍內了。

例如，分解：

，因子為1， 2；

的因子為1， 2， 3， 4， 6， 12， 24以及它們的負數。

我們先嚐試選擇

，使用分式除法驗證能不能被式子整除：

有餘數，因此不能整除。同樣的

也不可以，

可以：

即

現在就變成對

進行因式分解。

，因子為1， 2。

的因子現在只有1， 2， 3， 4， 6以及它們的負數。

我們同樣可以找到因子

：

即：

，顯然

已經不能再約分，因此分解結束。

如果任何

都無法整除我們要分解的式子，那麼就證明這個式子的所有因子都是形如

的，重複上面的方法，找到

的因子即可。

第三步：分解真分式

我們設

表示前述四種基本分母之一。那麼因式分解分母之後有：

因此我們可以把真分式分解為四種基本型別的部分分式：

對於第3、4種部分分式，我們注有“

不可再分解”，因為如果可以再分解，那就可以拆分成第1、2種情況了，例如：

接下來，我們證明以上四種分式，特別是第2、4種分式，可以再進一步分解為更簡單的、可積分的分式之和。

第一種分式

首先，對於分母為

的式子：

顯然，

應是一個常數，因為如果它包含有一個

，那麼這個式子就不是個真分式（其實不會出現這種情況），就可以用分式除法繼續化簡為

的形式：

第二種分式

對於分母為

的式子：

同樣，分子應當是一個常數。因為如果分子包含有

，就必定存在一個假分式因子，該假分式因子可以透過除式除法進一步化簡：

現在，我們說一個真分式：

它可以進一步化簡為以下幾個分式之和：

因為它是一個真分式，所以

中的

的最高次冪必然是小於

的。我們上面已經講了如果

的形式。我們來看

時：

無論

是多少次冪（小於k）的多項式，都可以透過這種方式計算，從而分解為：

我們也可以使用“進位制”的思想來理解這一點。

不感興趣的可以不看。

首先，一個有理真分數大於0小於1，即：

，

，

為整數。它可以表示成一個小數。例如

。我們的問題就變成怎麼把它表示成

：

先拿

，變成：

，變成：

，變成：

因為這個真分數小於1，因此必然

位之前停下來。

我們把這個步驟重複在

中，我們可以把它看成

，即它是（x+a）進位制的，小數點後

位上的數是

：

我們使

，變成：

重複這個過程，如果

位上，值為

：

這個過程最多可以再進行一步，並停止在

位置上。計算

：

表示為十進位制即：

第三種分式

對於分母是

的式子：

顯然

應該是一個一次多項式或常數，即

（

可以為0，此時是一個常數）。

因為如果

中包含

或更高次冪的

，那麼它就不是一個真分式（其實不會出現這種情況），因此可以透過分式除法，對其進一步化簡為

，例如：

第四種分式

第四種分式：

同理，

應該一個一次多項式或常數，即

（

可以為0，此時為常數的情況）。

因為如果

中包含

或更高次冪的

，那麼必然有個假分式因子，該假分式因子可以透過分式除法進一步化簡：

接下來的敘述跟第二種分式中的是一樣的，我們說一個真分式：

可以分解為以下分式之和：

它的證明跟第二種分式中的是一樣的。我們這裡不再贅述，兩者的不同之處在於，在第二種分式中，

，根據分式除法，它的餘式是一個常數，所以第二種分式分解後的所有分式分子是一個常數。但是在這裡第四種分式中，因為分母是一個二次多項式

，根據分式除法，

，它的餘式是

，這就是為什麼這裡所有分式分子形如

。

使用“進位制”的思想，理解這一點，跟第二種分式中敘述的是一樣的。不再贅述。

分解出來的四種部分分式

到這裡，我們可以確定，一個真分式可以化簡為以下四種部分分式之和：

最終分解規則

經過上面的討論，我們可以知道，一個真分式經過因式分解之後：

一，如果包含有

這種因式，那麼分解後有一個

的部分分式

二，如果包含有

這種因式，那麼分解後有

三，如果包含有

這種因式，那麼分解後有一個

的部分分式

四，如果包含有

這種因式，那麼分解後有有一個

例如：

第四步：計算出分式的分子

現在我們看如何計算各個部分分式的分子，其實就是使用待定係數法。

設我們要分解以下真分式：

等式兩邊乘以

有：

因此：

到這裡，我們就成功將該式子化解為多個部分分式之和。

因此，對該真分式的積分，就轉化為了對其部分分式進行積分：

下面我們介紹幾種快速求這些待定係數技巧。

代入法

代入法是常見的技巧，即代入一個

的值，來構造一個易求待定係數的等式。

兩邊乘以

，清除分母：

代入

：

代入

：

代入

：

掩蓋法

分母下面幾個線性因子相乘，且每一個因子都是1次冪時，可以使用掩蓋法，例如：

先處理

，兩邊乘以

有：

代入

，可以把右邊消成只有

的式子，左邊計算出的值，即為

：

因此，掩蓋法就是：

同樣，蓋住

，代入

，可求出

。蓋住

，代入

，求得

。

求導法

兩邊乘以

消去分母：

代入

，求出

。對上式求導：

代入

，可得

。再求導有：

即

。

可以看到求導法是透過求導來構造一個新的待定係數的等式，再代入某個

值，來確定待定係數。

第五步：求各個部分分式的積分

根據前面的內容，一個真分式可以分解為以下四種分式之和：

它們都是可以直接求積分的。第三、四種分式求積分感覺會比較複雜，但解題中出題通常會簡單一些，關鍵是要理解這些分式可以透過什麼手段進行求積分。下面給出四種分式的求積分方法。

第一種分式

第一種分式積分非常簡單：

第二種分式

第二種分式也很容易：

第三種分式

這種分式積分會複雜一些，我們一步步講：

首先，我們觀察到

，

跟

是同次的，因此可以把

表示為

的形式。我們透過分式除法：

因此有：

第一部分現在很容易求解：

現在看第二部分：

我們把要積分的式子，構造成

，利用

求解：

到此，就成功求出其積分：

第四種分式

求解第四種分式的積分：

這個積分是最複雜的，因此題出的也少。

首先，跟第三種分式中的一樣，我們先把

變成

的形式：

左邊這部分可以直接求出來：

現在看右邊，右邊其實相當於求以下式子的積分：

我們接下來先討論這種型別的式子如何求積分，設：

利用分部積分法，設

，因此

因此：

因此：

把

放到左邊：

當

時，數列

的初項為：

這樣，我們就解決了形如

的積分。回到我們第四種分式的積分中：

第二部分，使用換元法設

，就可以把它轉化為

的形式，從而使用上面的數列

公式，求出最終結果。