不知道咋概括，就取了個很籠統的標題名。
定理：對於由初值
與遞推公式
給出的數列
，若函式
連續，且
有界，則
收斂的充要條件是
。
證明：其必要性顯然，可直接由 Cauchy 收斂準則得出。下證其充分性。
由於
有界，由緻密性原理知，其必有極限點（即至少存在一個收斂的子列）。那麼
收斂等價於其僅有一個極限點（即所有收斂子列的極限值都相等）。
考慮反證法，假設
不收斂，則其至少有兩個不同的極限點
。我們總能找到一個
，使得
這兩個鄰域不相交。
由於
均為極限點，那麼對於任意
，我們總能找到一個
，使得
在鄰域
中。再取
，又能找到一個
，使得
在鄰域
中。依次類推，我們可知
會在兩個鄰域之間來回擺動。
接下來證明區間
內任一點
都是
的極限點。對於任意
，作鄰域
。由於
，說明
變化的步幅可以無限變小。當
足夠大時，
變化的步幅會
，即在經過鄰域
時，至少有一點會落入其中。而
會在兩個鄰域之間無窮次擺動，說明鄰域
內會含有
的無窮項，結合
的任意性可知，
也是
的一個極限點。
再證明區間
內任一點
都是
的不動點，即
。由於
是
的一個極限點，一定存在一個子列
，其收斂至
，即
。而
，可知
。在遞推式
中，由
的連續性可知，可對左右兩端同時取極限，得
。
注意到當
變化的步幅小於
後，必定會有一個
落入
中，而由於區間
內任一點
都是
的不動點，此後
就不再變化，與上文分析的
會在兩個鄰域之間來回擺動相矛盾。
於是
不可能存在兩個不同極限點，即
收斂。證畢。
