求高手解這個二重積分 ∫上2下1 dx∫上+∞ 下0 xyxe^(-xy)dy 書上結果是 得1。我百思不得其解

匿名使用者 1級 2011-10-20 回答

解：∵∫<0，+∞>yxe^（-xy）dy=∫<0，+∞>ye^（-xy）d（xy） （∫<0，+∞>表示從0到+∞積分）

=［-ye^（-xy）］│<0，+∞>+∫<0，+∞>e^（-xy）dy

=（0+0）+∫<0，+∞>e^（-xy）dy

=［-e^（-xy）/x］│<0，+∞>

=（-0+1）/x

=1/x

∴∫<1，2> dx∫<0，+∞>xyxe^（-xy）dy =∫<1，2>x（1/x） dx

=∫<1，2>dx

=（x）│<1，2>

=2-1

=1。

匿名使用者 1級 2011-10-20 回答

先求 ∫ x*y e^（-xy）dy 令 u = x*y， du = x dy

= （1/x） ∫ u e^（-u） du = （1/x） * （-u-1） e^（-u） + C

1+∞時， u=x*y -> +∞， （-u-1） e^（-u） = - （u+1） / e^u ->0

於是 ∫［0，+∞］ x* y e^（-xy） dy

= （1/x） * （-u-1） e^（-u） | ［0，+∞］

= （1/x） ［ 0 - （-1） ］ = 1/x