淺談基本不等式及其相關的不等式

前言

文章注有許多的附註（引用塊部分，即灰字），為幫助更多人更好理解，但或許會對熟知此的人士感到有些許繁瑣，望理解。

本文期望大多數的初高中對數學感興趣的人能夠讀懂，如有疑惑，歡迎在評論區討論，也會適當在文章做修改並補充。

基本不等式

自初中到高中，對於

基本不等式

，許多人對此相當熟悉

$\frac{a+b}2≥\sqrt {ab}$

此處

。而關於其證明我們也可以用一些非常初等的方式推匯出，就如

$(\sqrt a-\sqrt b)^2≥0$

展開得

$a-2\sqrt{ab}+b≥0$

移項，再將

除到左式即可得證

$a+b≥2\sqrt{ab}$

$\frac{a+b}2≥\sqrt{ab}$

該過程是大部分人都可以輕易想到的，同樣，我們也可以透過其幾何的性質，推匯出該不等式的正確性。

幾何方面的證明可參照《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修1·A版》（新教材）中的2。2基本不等式的探究，即作圓，取其直徑上的一點

，到直徑的兩端分別設為

和

。做

關於直徑的垂線交圓於

，試探求

$\sqrt{ab}$

與

$\frac{a+b}2$

在圖中表示的含義。

均值不等式（或稱其部分內容）

有的人會找出許多種關於基本不等式的證明方法，也有的人會發散他的思維，去思考如何將該不等式給更加具有普適性。於是，便會

歸納性

地認為下不等式亦應成立（下組數的各數均為正數）

$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}n≥\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$

這裡的

可以理解為數列（整序變數），也可單純地認為僅是一組數而已。

值得一提的是，不等式的左邊稱為這組數的算術平均值，右邊稱為幾何平均值（想象當二元（三元）的情形，幾何平均值相當於以各元為長方形（長方體）的邊長，求相同面積（體積）時對應的正方形（正方體）的邊長）。

或者可以用求和

$\sum_{k=1}^{n}{a_k}=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

與求積

$\prod^{n}_{k=1}a_k=a_1a_2a_3...a_n$

符號來化簡該式子

$\frac{\sum^{n}_{k=1}a_k}{n}≥\sqrt[n]{\prod^{n}_{k=1}a_k}$

其中的

便理解為取遍

至

的所有整數的變數。

此處

${\textstyle \sum_{k=1}^{n}}a_k$

與

$\sum_{k=1}^{n}{a_k}$

的含義相同，下文求積的類似情況亦是如此。

那麼，下面將進行幾種不同的證明方法。

證法一

首先，給出一個不等式

總被理解為自然對數的底數。對對數不太熟悉的讀者可以跳過證法一及後文的相關部分。

上不等式的證明便留給讀者自證。為簡便起見，便把

$\frac{\sum^{n}_{k=1}a_k}n$

記為

，

$\sqrt[n]{\prod^{n}_{k=1}a_k}$

記為

。為證明其正確性，不妨將右式除到左式，可得

$\frac{A_{n}}{G_{n}}=\frac{1}{n}\left( \sum^{n}_{i=1}\frac{a_i}{G_{n}} \right)$

此處的

不表示虛數含義，僅替換上文的

作為變數，下文類似情況亦是如此。

將左式括號中取

的指數，即得

$\frac{1}{n}\left( \sum^{n}_{i=1}\frac{a_i}{G_{n}} \right)=\frac{1}{n}\left( \sum^{n}_{i=1}e^{\ln\frac{a_i}{G_{n}}} \right)≥\frac1{n}\left( \sum^n_{i=1}\left( 1+\ln\frac{a_i}{G_{n}} \right) \right)$

在此處運用了開頭給的不等式

。

將求和展開即得

$\frac1{n}\left( \sum^n_{i=1}\left( 1+\ln\frac{a_i}{G_{n}} \right) \right)=\frac1{n}\left( n+\ln\frac{ \prod^{n}_{i=1}a_i }{G_{n}^n}\right)=\frac1{n}\left( n+\ln\frac{ G_{n}^n }{G_{n}^n}\right)=\frac1n\left( n+0 \right)=1$

此處運用了對數的和等於積的對數的知識。

於是，則有

$\frac{A_{n}}{G_{n}}≥1$

類似地，亦可以運用相似的不等式來證明

$\ln x≤x-1$

其證明過程相仿，故不做演示，僅口述其大致內容。將不等式左式除到右式，取對數，隨即運用所給不等式，展開化簡即可得證。

證法二

同樣地，我們亦可以運用

數學歸納法

來證明不等式的正確性。

數學歸納法的敘述如下：

當一個關於自然數

的命題

對1）與2）都成立。

1）

成立；

2）對於任意的自然數

而言，若

成立，則

成立。

此時，則稱

對於任意的自然數

都成立。

*其中的2）亦可表述為，2*）：對於任意的自然數

與

而言，若

都成立，則

成立。

此處的1）可隨時根據需要改寫成“

成立”、“

成立”等，那麼法則的結論需要進行相應的修改，如“稱

對於任意的大於等於

自然數

都成立”、“稱

對於任意的大於等於

自然數

都成立”。

這個法則可以清晰地用多米諾骨牌仿照理解。

例如，我們可以先證明

特殊情況

中的當

成立時，則

$A_n=\frac{\sum^n_{k=1}a_k}n≥1$

是成立的，再將一般情況化為特殊情況，來證明

一般情況

中的成立。

對於特殊情況，實際上相當於證明此時

$\sum^n_{k=1}a_k≥n$

根據數學歸納法的1），顯然當

取

和

時成立。再依據2），做出相應的假定，此時僅需證

$\sum_{i=1}^{k+1}{a_i}≥k+1$

其中

$a_1a_2...a_ka_{k+1}=1$

。不妨設

$a_1,a_2,a_3,...,a_k,a_{k+1}$

其中不大於

的為

，不小於

的為

$a_{k+1}$

，則有

$\sum_{i=1}^{k+1}{a_i}=\sum_{i=1}^{k-1}{a_i}+a_ka_{k+1}+(1-a_k)(a_{k+ 1}-1)+1$

讀者可自行展開驗證該式的正確性。

依據假定，可得不等式

$\sum_{i=1}^{k-1}{a_i}+a_ka_{k+1}+(1-a_k)(a_{k+1}-1)+1≥k+(1-a_k)(a_{k+1}-1)+1≥k+1$

此處對式子的前兩項

$\sum_{i=1}^{k-1}{a_i}$

與

$a_ka_{k+1}$

運用了

，以及

$(1-a_k)(a_{k+1}-1)≥0$

。

此時便證明了數學歸納法所需的1）和2）是成立的。於是，對於所有的自然數

，滿足條件的

都有

$\sum^n_{k=1}a_k≥n$

。

而考慮一般的情況，僅需將右式除到左式，再將

乘到右式，即得

$\sum^n_{k=1}\frac{a_k}{G_n}≥n$

此時僅需令

$x_k=\frac{a_k}{G_n}$

，可以轉化為特殊情況求證。

證法三

既然我們可以使用數學歸納法來證明，自然會想到使用

反向數學歸納法

來證明。

反向數學歸納法的敘述如下：

當一個關於自然數

的命題

對1）與2）都成立。

1）對於有無窮多互異的項且每項均為正整數的整序變數

而言，

成立；

2）對於任意的正整數

而言，若

成立，則

成立。

此時，則稱

對於任意的自然數

都成立。

此處的

與

並無關聯。

*2）中的“任意的正整數

”可以根據需要改為“任意的大於等於

的正整數

”等等，法則的結論亦需要修改，修改方式與上文類似。

反向數學歸納法的可以這麼理解，對於任意的自然數

，總能找到適當的

使得

，再根據2）一步一步往前推。

一般情況下，數學歸納法單指上文介紹的第一個數學歸納法。

而對於我們所需處理的不等式，可以使用數學歸納法輕易地證明對於整序變數

而言，都有

$A_{n_k}≥G_{n_k}$

成立。此時，來證當

$A_k≥G_{k}$

成立時，有

$A_{k-1}≥G_{k-1}$

。

首先，假定

不妨取

為前

項的算術平均值，即

$a_k=A_{k-1}$

，於是

$\frac{\sum^{k}_{i=1}a_i}{k}=\frac{\sum^{k-1}_{i=1}a_i+\frac{\sum^{k-1}_{i=1}a_i}{k-1}}{k}$

化簡可得

$\frac{\sum^{k-1}_{i=1}a_i+\frac{\sum^{k-1}_{i=1}a_i}{k-1}}{k}=\frac{\sum^{k-1}_{i=1}a_i}{k-1}=A_{k-1}$

而此時的

為

$\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}a_i}=\sqrt[k]{A_{k-1}G_{k-1}^{k-1}}$

根據假定，我們有

$\frac{\sum^{k}_{i=1}a_i}{k}≥\sqrt[k]{\prod^{k}_{i=1}a_i}$

代入得

$A_{k-1}≥\sqrt[k]{A_{k-1}G_{k-1}^{k-1}}$

將右式的

$\sqrt[k]{A_{k-1}}$

除到左式

$\sqrt[k]{\frac{A_{k-1}^k}{A_{k-1}}}≥\sqrt[k]{G_{k-1}^{k-1}}$

左式化簡得

$\sqrt[k]{A^{k-1}_{k-1}}≥\sqrt[k]{G_{k-1}^{k-1}}$

先

次方再開

次方根即得

$A_{k-1}≥G_{k-1}$

現已推出若

則

成立，則可知原不等式是成立的。

曾見有人想過

的任意性被破壞是否會對不等式的任意性產生影響，在此作一番說明。一方面，

的任意性是被假定了的，自然

便可以取前

個數的算術平均數；另一方面，我們想推得

對任意的

個正數成立，那麼僅需保證其中的

個變數是自由的（任意的）即可，至於

是否任意對

的任意性不會造成影響。

琴生（Jensen）不等式

許多人或曾聽說過函式的

凹凸性

，即函式上兩點間的函式值與兩點連線上的值的大小關係。有趣的是，凹凸性在國內外有時是相反地定義的（如國內的凹性在國外就是凸性），甚至在國內的不同專業也是相反地定義的。為表明確，此處給出本文中關於

凸

的定義

在區間

中定義著連續函式

，如果在

中任意的兩點

和

成立著不等式

其中

且

與

為正，那麼就稱

在

內是凸的。

區間

的開閉、有窮無窮的性質不重要，即

僅需有

個以上的元素即可。

凹的定義便是相反的情形。

對於我來說，我情願在平常稱此處的凸為下凸，而凹為上凸。但既然在本文中給出了文中凸（凹）的定義，便以此處的凸（凹）為稱。

插一曲，歷史中的凸（凹）函式是由琴生引入的，他用的是更特殊的

$f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)≤(\geq)\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

，可證明這與我們在本文中的定義是一致的。

至於為何取名為凸（凹）函式，讀者可以自行繪圖以便理解（例如二次函式

便是凸的）。

考慮不等式的

幾何性質

，任何在

至

中的數

都應當可以表述為

（此處的

及

滿足上文的性質），再結合弦上的縱座標可寫成

，其中

且

，那麼上述對凸的定義便可以表述為：函式的弦在弧之上。

可以再推出此時係數為

$q_1=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}$

及

$q_2=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

，應用該式，可將定義中的不等式改寫為

$f(x)≤\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)$

或再改寫為更好看的式子

$\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}≤\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$

感興趣的同學可以自行驗證。

形式與證明

對於該不等式，相仿均值不等式中的推廣，我們可以取構思出凸函式應當是可以滿足

更一般

的不等式，即是

其中正數

和為

，而關於該不等式的證明可以由數學歸納法得出。

對於（數學歸納法的）1）可由定義得知

為

時是成立的，而考慮2），便先做出相應的假定，再證此時

$f(q_1x_1+...+q_kx_k+q_{k+1}x_{k+1})≤q_1f(x_1)+...+q_kf(x_k)+q_{k+1}f(x_{k+1})$

成立即可。

為證不等式，將左式變數的右兩項組成一項，即

$q_kx_k+x_{k+1}q_{k+1}=(q_k+q_{k+1})\left( \frac{q_{k}}{q_k+q_{k+1}}x_k+ \frac{q_{k+1}}{q_k+q_{k+1}}x_{k+1} \right)$

再應用2）的假定，於是有

$f\left( q_1x_1+...+(q_k+q_{k+1})\left( \frac{q_{k}}{q_k+q_{k+1}}x_k+ \frac{q_{k+1}}{q_k+q_{k+1}}x_{k+1} \right)\right)≤q_1f(x_1)+...+(q_n+q_{n+1})f\left( \frac{q_{k}}{q_k+q_{k+1}}x_k+ \frac{q_{k+1}}{q_k+q_{k+1}}x_{k+1} \right)$