一，均值不等式的證明

證明過程利用到排序不等式（順序和

\geq

亂序和

\geq

反序和）的部分結論

設

a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ... \cdot a_{n}=k

，

a_{1}=\sqrt[n]{k}\frac{x_{1}}{x_{2}}

，

a_{2}=\sqrt[n]{k}\frac{x_{2}}{x_{3}}

，

...

，

a_{n-1}=\sqrt[n]{k}\frac{x_{n-1}}{x_{n}}

，

a_{n}=\sqrt[n]{k}\frac{x_{n}}{x_{1}}

不妨令

x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq ...\leq x_{n}

，則

\frac{1}{x_{1}}\geq \frac{1}{x_{2}}\geq \frac{1}{x_{3}}\geq ...\geq \frac{1}{x_{n}}

根據排序不等式有亂序和

\geq

反序和，故

\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}+\frac{x_{n}}{x_{1}}\geq \frac{x_{1}}{x_{1}}+\frac{x_{2}}{x_{2}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}}+\frac{x_{n}}{x_{n}}=n

兩邊同時乘以

\sqrt[n]{k}

可得

a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}\geq n\sqrt[n]{k}

，即

\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}

二，貝努利不等式的證明

指數為

0

或

1

時的情況不證自明，此處不做介紹，以下推導過程重要前提條件是

x>-1

，

設有理數

q\in\left( 0,1 \right)

，令

q=\frac{m}{n}

，

m,n

均為正整數，則根據均值不等式有

(1+x)^{q}=\sqrt[n]{(1+x)^{m}\cdot 1^{n-m}}\leq \frac{m\cdot (1+x)+(n-m)\cdot1}{n}=1+\frac{m}{n}x

即

(1+x)^{q}\leq 1+qx

成立

由此可得

(1+x)^{q}\leq \frac{(1+x)^{q}+1+qx}{2}\leq 1+qx

則必定存在一實數

r

使得

(1+x)^{r}=\frac{(1+x)^{q}+1+qx}{2}

從而

(1+x)^{q}\leq (1+x)^{r}\leq 1+qx

可得

q\leq r

，於是

(1+x)^{q}\leq (1+x)^{r}\leq 1+qx\leq 1+rx

於是對於任意實數

r\in\left( 0,1 \right)

都有

(1+x)^{r}\leq 1+rx

成立

所以對於任意實數

h\in\left( 1,+\infty \right)

都有

(1+hx)^{\frac{1}{h}}\leq 1+\frac{1}{h}\cdot hx=1+x

即

(1+x)^{h}\geq 1+hx

成立

結合以上結論對於任意實數

s\in\left( -\infty,0 \right)

可建構函式

f\left( x \right)=(1+x)^{s}-(1+sx)

來研究其單調性，最終可得

(1+x)^{s}\geq 1+sx

成立

那麼綜上可得

x>-1

時

\forall k\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)

，

(1+x)^{k}\geq 1+kx

恆成立

\forall k\in\left[ 0,1 \right]

，

(1+x)^{k}\leq 1+kx

恆成立

x_{1},x_{2},...,x_{n}

均為大於

-1

並且同號的實數，則

(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})\geq 1+x_{1}+x_{2}+...+x_{n}

以上為貝努利不等式的一般式，我們可以透過數學歸納法來進行證明，

證明：當

n=1

時，不等式顯然成立

假設當

n=k

時，不等式成立，即

(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{k})\geq 1+x_{1}+x_{2}+...+x_{k}

那麼當

n=k+1

時，

(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{k})(1+x_{k+1})

\geq (1+x_{k+1})(1+x_{1}+x_{2}+..+x_{k})

=1+x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{1}x_{k+1}+x_{2}x_{k+1}+...+x_{k}x_{k+1}

顯然，不等式仍然成立

至此，貝努利不等式證明完畢

高中數學中還有其它常見的不等式，關於這些我做了一些整理，看客們可以看看我之前的文章

以上關於貝努利不等式的證明還是欠妥，還是得依靠高數的極限思想來證明，此處就貼一張席華昌的證明吧

高中數學均值不等式和伯努利不等式及其證明