丟番圖方程和它在數論中的另一位親戚——素數——一樣善於偽裝。現代數論研究的一位老將Peter Swinnerton-Dyer在一篇名為“DIOPHANTINE EQUATIONS： PROGRESS AND PROBLEMS” 的綜述裡對數值計算丟番圖方程的解寫了一些相當中肯的意見：

Progress in mathematics usually means proven results； but there are cases where even a well justified conjecture throws new light on the structure of the subject。 （For similar reasons， well motivated computations can be helpful； but computations

not based on a deep feeling for the structure

of the subject have generally

turned out to be a waste of time

。）

文章明確表示：如果對相應的丟番圖方程的結構沒有足夠的瞭解，那麼計算很多時候都是徒勞無功。為什麼這麼說呢？

1）

三個整數的立方和

。怎麼樣找到三個整數（三個整數不必符號相同）的立方和使之等於給定的整數a呢？利用同餘關係很容易證明如果a除以9餘4或5，那麼無解。那麼剩下的整數呢？下面這個例子屬於Lyons大學的Sander G。 Huisman（

http：//

arxiv。org/abs/1604。0774

6

）。

丟番圖方程

x^3+y^3+z^3=74

的最小解是

(66229832190556, 283450105697727,-284650292555885)

看到這個問題首先想到編個迴圈求解的人可以想象一下跑

10^{20}

個以上迴圈，並且計算的數字平均在

10^{40}

左右的感受。

2）

Congruent Number

（所謂的同餘數，其實和同餘式並沒有非常直接的關係）找一個有理數d， 使得d-a， d， d+a都是有理數的平方。其中a是一個給定的正整數。這個問題的另一個形式是找一個三邊長都是有理數的直角三角形，使得它的面積等於給定的正整數a。

Fermat的無窮遞降法成功地幫他否決了a=1時解的存在。對於某些整數a，找到相應的等差數列或直角三角形是比較容易的，譬如說a=6。 a=5就困難一些。對於某些a，找到解比證明解存在要困難的多。最出名的例子是a=157的情況。找到解的第一人是Don Zagier。 他找到的解是：

d=\frac{a^2}{b^2} .

a=224403517704336969924557513090674863160948472041

b=2\times 8912332268928859588025535178967163570016480830

分子和分母都是天文數字！

印證Peter Swinnerton-Dyer觀點的例子數不勝數，更多有趣的例子可以參見

https：//www。

zhihu。com/question/3716

4066/answer/71589759

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數學史上不缺乏這樣的例子：重要的理論或是解決問題的思路幾乎同時被幾個人發現，例如Poincare與Klein在19世紀80年代在模形式方面的競爭。Euler猜想的解決也不例外。解決問題的關鍵幾乎同時由三個人獲得：Max Planck研究所的Don Zagier， Harvard的Noam Elkies和ASU的 Andrew Bremner。 Don Zagier在文章裡回憶了自己當年的發現：

1986年下半年Don Zagier本人在Berkeley的數學科學研究中心作了一次關於丟番圖方程的講座。講座後有一位姓de Vogelaere的人詢問Zagier是否知道Euler的猜想，並且和Zagier分享了一些自己的想法。

de Vogelaere的出發點是下面這個代數等式：

(m^2+mn+n^2)^4=(mn)^4+((m+n)n)^4+(m(m+n)(m^2+mn+2n^2))^2

Zagier本人只說這是1895年由Escott發現的等式。但是看過Elkies本人的文章後，我個人的猜測是：de Vogelaere本人看過L。 E。 Dickson的名著History of the Theory of Numbers。 上面的等式出現在這本書第二卷第658頁。等式的發現者E。 B。 Escott大概是Umich的一位教授， 該等式發表在1899年的一本雜誌上。如果Dickson不記載這個等式，大概它就會永遠被人遺忘。

de Vogelaere注意到，等式裡只有等號右邊的最後一項形式上不是四次方數。問題在於，能不能找到一組整數m，n， 使得

m(m+n)(m^2+mn+2n^2)

是非零的平方數呢？答案是不能。這是可以由橢圓曲線的相關理論推出的結論。不過de Vogelaere找到的等式不止上面那一個，他找到的一族等式可以這樣表示：

z,x,y

均為關於變數

u,v

的

有理係數二次齊次多項式

，

t

是關於變數

u,v

的有理係數四次齊次多項式。它們滿足關係

z^4-x^4-y^4=t^2.

de Volgaere本人的問題是：

1） 有沒有系統生成關於u，v的有理係數多項式z， x， y的方法？

2） 如果能找到這樣的多項式z， x， y， 能否找到整數u， v使得t是不為0的平方數？

［

z,x,y

均為關於變數

u,v

的有理係數二次齊次多項式］這個條件暗示了z，x，y之間存在一些關係。利用消去法，不難得到，

x,y,z

滿足

Q(x,y,z)=0

， Q是關於x， y， z的二次有理係數齊次多項式。反過來，給定一個二次有理係數齊次多項式Q（x，y，z），不一定能找到

有理係數

二次齊次多項式x（u，v）， y（u，v）， z（u，v）使得Q（x，y，z）=0。 但是隻要Q（x，y，z）=0所表示的二次曲線上有一個有理點，我們就可以用與球極投影類似的方式，生成多項式x， y， z。

一個自然的問題是：如果

Q(x,y,z)=0

， 那麼

z^4-x^4-y^4=t^2

代表了什麼樣的含義呢？注意到t（u，v）的零點正對應

z^4=x^4+y^4

與

Q(x,y,z)=0

的交點，而且兩條曲線每一個交點都是二重的。這意味著，兩條曲線相切於四個點。我們再利用一次消去法，可以得到t（u，v）可以表示為x（u，v）， y（u，v）， z（u，v）的有理係數二次齊次多項式。記這個多項式為

P(x,y,z)

。由我們的推理，可以得到，只要

Q(x,y,z)=0

那麼可以找到二次（有理係數）多項式

P(x,y,z)

使得

z^4-x^4-y^4-P^2(x,y,z)=0

。

這個事實說明什麼呢？說明

z^4-x^4-y^4-P^2(x,y,z)

可以分解為Q（x，y，z）和另一個有理係數二次齊次多項式R（x，y，z）的乘積。也就是

z^4-x^4-y^4=P^2-QR

Zagier注意到，等式右面可以看做是二次型

Qs^2+2Pst+Rt^2

的判別式。做一個線性變換s‘=as+bt， t’=cs+dt，ad-bc=1（a，b，c，d全是整數）， 那麼得到關於s‘，t’的二次型判別式並不發生變化。不過新的二次型的係數P‘， Q’， R‘是P，Q，R的線性組合。這是Gauss已經玩的很熟練的技巧。借用這個古老的技巧，我們就可以得到一族多項式P，Q，R，從而回答了de Vogelaere的第一個問題。

Remark 1

。 不難得到Escott等式對應的P， Q， R分別為

P=z^2-(x-y)^2

Q=x^2+y^2-xy+xz-yz

R=2(x^2+y^2-xy-xz+yz)

文章的插圖對應的就是由這一組P， Q， R生成的曲線Q’=0與

z^4=x^4+y^4

對應的代數曲線的圖形。可見兩條曲線切於兩個實點，還有兩個切點是虛的。

Remark 2

。 Andrew Bremner的方法有點詭異。

z^4-x^4-y^4=t^2

可以恆等變換為

2(z^2+x^2)(z^2+y^2)=(z^2+x^2+y^2)^2+t^2

這個等式存在的一個充分條件是

\theta(x+iz)(y+iz)=t+i(x^2+y^2+z^2), \theta\in\mathbb{Q}(i), \vert \theta\vert=2

分開實部虛部，消去x，y，z中的變數，也可以得到t為某兩個變數u，v的四次齊次函式。這樣就抵達了de Vogelaere的第二個問題。但是Andrew Bremner本人並沒在這個問題上繼續深鑽下去。

Remark 3.

Zagier用線性變換構造出的一族

x(u,v),y(u,v),z(u,v)

覆蓋了

z^4-x^4-y^4=t^2

上的每一個整點。這可以保證

z^4-x^4-y^4=t^2

的每一個整數解都可以由這組構造得到。