卷積（背後意義、應用及計算）

一、卷積及其背後的意義

1、卷積產生的意義：上一節講了傅立葉變換，他是為了將一個函式拆成一系列不同頻率的正弦波，為什麼要將一個完整的函式拆分成一個正弦波呢，答案是為了簡化計算，因為正弦函式求導和積分之後都仍是正弦函式，並且很多在時域不好處理的事情在頻域很簡單，比如濾噪，下面是傅立葉變換講解的連結，感興趣的朋友們可以看一下

但是有時候轉換成正弦波的形式同樣不好處理，我們還需要將一個函式轉換成其他的形式，比如衝激，因此便有了卷積，所以卷積其實和傅立葉一樣，是一種函式轉換工具，只是將函式轉換成了不一樣的形式，傅立葉將原始函式轉換成了一系列不同頻率的正弦波，卷積將函式轉換成一系列衝激，對於轉換成衝激有什麼用處會在第二部分給一個具體的例子。

2、卷積是如何將一個函式拆分成一個個的衝激的

（1）階躍函式

首先這裡需要引入一個階躍函式

$\varepsilon(t)$

，其表達形式如圖1所示：

圖1

我們可以透過這個函式將原函式分成一段一段的，具體操作如下：

圖2

將上述函式右移一小段，可以得到如圖2所示的影象，假設需要將原函式截成一小段一小段的，每一個小段的長度是t0，只需要令

$\varepsilon(t-nt_{0})-\varepsilon(t-(n+1)t_{0})$

即可，即得到

$t_{0}$

長的一小段，並且可以調節n的大小來移動這個小段的位置，與原函式相乘，即可得到原函式在

$nt_{0}$

處的近似函式值。因此我們可以得到下列式子，雖然很長，但是很簡單，就是把原函式分為很多小段再加起來

$f(t)\approx\sum_{-\infty}^{+\infty}{f(nt_{0})(\varepsilon(t-nt_{0})-\varepsilon(t-(n+1)t_{0}))}$

$\approx\sum_{-\infty}^{+\infty}{f(nt_{0})\frac{(\varepsilon(t-nt_{0})-\varepsilon(t-(n+1)t_{0}))}{t_{0}}}t_{0}$

當

$t_{0}\rightarrow0$

時，即我們將原函式分為無數多個點組成的形式的時候，原函式可以寫成如下的形式

$f(t)=\lim_{t_{0} \rightarrow 0}{\sum_{-\infty}^{+\infty}{f(nt_{0})\frac{(\varepsilon(t-nt_{0})-\varepsilon(t-(n+1)t_{0}))}{t_{0}}}t_{0} }$

我們將

$\frac{\varepsilon(t-nt_{0})-\varepsilon(t-(n+1)t_{0})}{t_{0}}$

單獨提出來分析，當

$t_{0}\rightarrow0$

時這是一個求導的式子，求的是函式

$\varepsilon(t)$

在

$t=nt_{0}$

處的導數，從圖1、圖2我們知道，函式

$\varepsilon(t)$

在

$nt_{0}$

處發生了跳變，對這點的求導需要引入一個新的函式即衝激函式

（2）衝激函式

定義：

$\left\{ _{\delta(t) = 0,t\ne0}^{\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)d{t} = 1} \right\}$

影象：

為什麼衝激函式是函式

$\varepsilon(t)$

在

$nt_{0}$

處的導數呢？可以看作是無窮大的力量（突變）但只作用了極端的時間（只在t=0處），所以只造成了有限的影響（階躍到1），這個影響相當於是對無窮大和無窮小相乘後求極限。

3、有了上述鋪墊，現在我們再回到這個公式

$f(t)=\lim_{t_{0} \rightarrow 0}{\sum_{-\infty}^{+\infty}{f(nt_{0})\frac{(\varepsilon(t-nt_{0})-\varepsilon(t-(n+1)t_{0}))}{t_{0}}}t_{0} }$

。

可以將上述式子寫成一下形式

$f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}f(nt_{0})\delta(t-nt_{0})t_{0}$

當

$t_{0}\rightarrow0$

時，每次n增加對

$nt_{0}$

的影響非常小，因此

$nt_{0}$

可以看作是一個連續變化的值，將其看作連續量

$\tau$

，則上式可以寫成如下形式：

$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

這樣就將原函式分解成了一系列衝激組成的形式了，上述原理也可以參考珂學原理的文件

連結如下：

二、卷積的應用

現在智慧手機在接聽電話時都會自動進行降噪處理，這就是以來卷積實現的。

我們在接打電話時，周圍存在很多的噪音，但是對方卻聽不到我們這邊的噪聲，因為手機將我們傳入的聲波進行了處理，增強了我們的聲音，濾去了噪聲，這種場景我們很熟悉，自然而然的我們想到了傅立葉變換，但是想象一下，世界上有那麼多聲音，那麼多組合，每個人不一樣，每個人又都可以組合在一起，聲波的形狀有無數中，其中的頻率組成也有無數種，我們無法對世界上所有的人取樣來分離每個人的聲音，但是所有的函式波形都可以分成一系列的衝激，對於每一個衝激輸入我們給一個相應，令其對應一個固定的輸出，所以就簡單了許多，我們要做的就是令系統給衝激一個固定的相應。

對應的過程如下圖所示（圖片來在珂學原理）：

每一個單位沖沖激對應相應是h（t），這是一個線性時不變系統，不什麼時候輸入一個衝激，對應的響應是一樣的，因此衝激平移，對應的響應函式也平移，且響應的幅值變化也對應著衝激的幅值變化（即衝激成原函式則響應的各個位置也成原函式值同比例增大），如上圖所示，每一個衝激對應一個h（t）的波形，隨著衝激移動而移動，隨著衝激幅值變化而同比例變化，最後每一個時刻的值就是這些響應在這一時刻的累加。最終形成的新的波形就是一個經過濾噪之後的目標波形。

三、卷積的計算

1、數學計算，代入求的時刻t然後積分就好

2、卷積的數學意義

公式：

$f(t)\otimes h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$