現在僅剩的問題，就是證明阿聰策略的期望停止時間有限了。
遞推法似乎行不通。事實上，用賭本和賭注
作為狀態時，在狀態圖上下一步能走的方向向量
和
還跟當前狀態有關。能不能先把這種複雜性消滅——找一種狀態表示法，使得每一步能走的方向向量跟當前狀態無關呢？
答案是能。還是注意到“一輸一贏”會使得賭本加1，賭注不變；同樣，“一贏一輸”也使得賭本加1，賭注不變。這表明，只要中途遊戲沒有結束，輸和贏的順序是可以交換的；最終的賭本和賭注僅取決於輸和贏的次數，而不取決於輸和贏的順序。假設到某個時刻為止，阿聰輸了
次，贏了
次，那麼總可以交換輸贏的順序，把
次輸放在前面，
次贏放在後面（就算中間輸光了，也讓他繼續賭下去）。
次輸的賭注分別是
；
次贏的賭注分別是
。此時阿聰的賭本
和賭注
就可以用
和
表示出來：
★
★
這就表明，
也可以用來表示狀態。每賭一局，要麼
加1，要麼
加1，但總之
和
的變化量與當前狀態無關了。遊戲結束的條件是
或
，這兩個條件也都可以用
和
表示出來，前者是一條直線，後者是一條拋物線。畫出圖來，就一目瞭然了：
圖中，兩條黃線代表了遊戲結束的條件；紅色格子表示賭注減小到0，藍色格子表示輸光。阿聰從左下角的格子出發，每次只能向右或向上走一格，碰到黃線遊戲就結束了。遊戲能夠進行的區域（綠色格子）是越來越寬的。
現在，狀態表示足夠簡單了，但停止條件還比較複雜。能不能繼續化簡呢？能。上面的圖中，黃色的直線
恰好是拋物線的對稱軸，如果我們把座標系旋轉45度，拋物線的方程就能化簡。把
再反過來代換成
，同時令
，用
表示狀態，則狀態的轉移方式變成了每賭一局，
每加1，
可加1或減1；終止條件則化成
或
，簡單多了。事實上，把
看作時間，把賭注
用
來表示，則
就化成了如下的、帶移動吸收壁的一維隨機遊走過程：
帶移動吸收壁的一維隨機遊走：
設粒子初始位置為
，每步的位移
等可能地取
。在
處有固定吸收壁，
處有移動吸收壁，粒子碰到吸收壁則死亡。問粒子存活時間的期望是否有限？
阿聰的策略轉化到這裡，就有了一種柳暗花明又一村的感覺——問題成功脫離了賭博的背景，變成了一道比較一般的一維隨機遊走問題。事實上，有許多文獻研究過類似的問題，比如：
［1］ ［2］ 研究了有兩個移動吸收壁
的情況，吸收壁的移動速度是減慢的；
［3］ 研究了有兩個移動吸收壁
的情況，吸收壁的移動速度是常數；
以上文獻研究的都是離散的一維隨機遊走，而 ［4］ 研究了連續的一維擴散在單側有吸收壁
（另一側自由）和雙側有吸收壁
時的情形。這兩種情形分別被形象地稱為“後退的懸崖”和“會長大的籠子”。
阿聰策略轉化成的問題，就是一個“會長大的籠子”。但很不幸的是，上述文獻研究都並不是我們感興趣的情景，因為我們的籠子左側是不會長大的。要解決我們的問題，還得自力更生。
參考文獻
［1］ David Blackwell and David Freedman， “A remark on the coin tossing game”，
The Annals of Mathematical Statistics
， Vol。 35， No。 3 （Sep。， 1964）， pp。 1345-1347。
［2］ L。 A。 Shepp， “A first passage problem for the Wiener process”，
The Annals of Mathematical Statistics
， Vol。 38， No。 6 （Dec。， 1967）， pp。 1912-1914。
［3］ Alan J Bray and Richard Smith， “The survival probability of a diffusing particle constrained by two moving， absorbing boundaries”，
Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical
40。10 （2007）： F235。
［4］ P。 L。 Krapivsky and S。 Redner， “Life and death in an expanding cage and at the edge of a receding cliff”，
American Journal of Physics
64。5 （1996）： 546-551。
