f(x)=ax^3-3x+1對於x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a=____

匿名使用者 1級 2009-04-15 回答

f（x）≥0總成立，即：ax^3≥3x-1

當x=0時，顯然成立，對任意的a都成立

當x>0時，a≥3/x^2-1/x^3=1/x^2*（3-1/x）

因為3=1/（2x）+1/（2x）+（3-1/x）≥3（3次根號下1/（4x）^2*（3-1/x）

（當且僅當1/（2x）=3-1/x，x=3/8時取等號）

得：1/x^2*（3-1/x）≤4， 即1/x^2*（3-1/x）的最大值是4，故a≥4

當x<0時 a≤3/x^2-1/x^3

因為： 3/x^2是增的，1/x^3是減的，3/x^2-1/x^3是增的

故當x=-1時，3/x^2-1/x^3的最小值是4

故a≤4

綜上，只有a=4時才能使f（x）≥0總成立

Chloé 1級 2009-04-15 回答

f‘=3ax^2-3=3（ax^2-1） 若a<0，f’<0，f（x）遞減，則要x∈［-1，1］，f（x）≥0恆成立，只要f（1）>=0即可，得a>=2。矛盾 若0=2，矛盾 若a=0，f（x）=1-3x，顯然f（1）=-2<0 若a>1，則f‘在［-1/根號a，1/根號a］上<0，在［-1，-1/根號a］，［1/根號a，1］上f’>0 畫一個單調的圖可知，只要f（-1）>=0，f（1/根號a）>=0即可 f（-1）=-a+4>=0，得a<=4 f（1/根號a）=-2/根號a+1>=0，得a>=4 則a=4