第一次寫文章，只談這一道題：

方程

x-\ln x=a

的兩個實數根是

x_1

，

x_2

(x_1<x_2)

。

（1）求

a

的取值範圍 。

（2）求證：

x_1+x_2>1+a

。

（1）比較容易，答案是

(1,+\infty)

。

本文主要想探討一下（2） 。

先明確一點：

這個問題不能用極值點偏移

，用極值點偏移只能證明

x_1+x_2> 2

.

然而，

用導數法可以解決這個問題

，且形式靈活 。 我將分享 3 種有代表性的解法。

其中，

最高效的是方法三

；而其他兩種方法也有較大的推廣價值 。

讀者可以選擇性地閱讀 。

法一

：將

RHS

中的

a

替換掉，變成一元函式然後求導證明 。

a=x_2-\ln x_2

要證

x_1+x_2>1+a

即證

x_1+\ln x_2>1

即證

x_2\cdot e^{x_1}>e

即證

x_2>e^{1-x_1}

其中

x_2>1

，

e^{1-x_1}>1

設

f(x_2)=x_2-\ln x_2-a

f(x)

在

(1,+\infty)

上單調遞增

構造

g(x_1)=f(x_2)-f(e^{1-x_1})

\begin{align} g(x_1)&=x_2-\ln x_2-(e^{1-x_1}-(1-x_1))\\ &=1-\ln x_1-e^{1-x_1}\\ \end{align}

已知

0<x<1

，要證明

g(x)>0

，用導數來證明

\lim_{x\rightarrow 1^-}g(x)=0

\begin{align} g

g(x)

在定義域內恆大於零

因此

f(x_2)>f(e^{1-x_1})

所以

x_2>e^{1-x_1}

主體上的方法是

透過代換變成一元函式，然後證明

法二

：用

引數

表示出

x_1

和

x_2

，然後求 3 次導 。

設

t\cdot x_1=x_2

將其代入

a=x_2-\ln x_2

中

得

a=t\cdot x_1-\ln x_1-\ln t

又

a=x_1-\ln x_1

解得

\begin{cases} x_1=\frac{\ln t}{t-1}\\ x_2=\frac{t\ln t}{t-1} \end{cases}

\begin{align} 要證x_1+x_2>1+a \\即證x_2+\ln x_1>1\\即證\frac{t\ln t}{t-1}+ln\frac{\ln t}{t-1}>1& &\lim_{t\rightarrow1^+} LHS=1 \end{align}

\begin{align} \frac{(\ln t+1)(t-1)-t\ln t}{(t-1)^2}+&\frac{\frac{t-1}t-\ln t}{(t-1)^2}\cdot \frac{t-1}{\ln t}>0 \\化簡，得\frac{(t-1)^2}t>\ln^2 t&&\lim_{t\rightarrow1^+} (LHS-RHS)=0\\\ \end{align}

\begin{align}\frac{2(t-1)t-(t-1)^2}{t^2}>2&\ln t\cdot\frac1t \\化簡，得\frac{t^2-1}{2t}>\ln t&&\lim_{t\rightarrow1^+}( LHS-RHS)=0 \end{align}

\begin{align} \frac{2(t-1)t-(t-1)^2}{t^2}>2\ln&^2t\cdot\frac1t \\化簡，得\frac{t^2-1}{2t}>\ln t&&\lim_{t\rightarrow1^+} (LHS-RHS)=0\\\ \end{align}

\begin{align} \frac12\cdot(1+\frac1{t^2})>\frac1t &&\lim_{t\rightarrow1^+}( LHS-RHS)=0 \end{align}

用基本不等式易證得此結論

這種方法確實比較考驗計算能力

，需求 3 次導函式；然而，如果可以用引數表示出各個未知數，那麼

用這種方法一定可以證出結論

——只是時間長短的問題。

法三

：

d

代換 。

//

d

是微分符號，

dx

表示小量

\begin{align} a\ \ &=x_1-\ln x_1\\ \frac{da}{dx_1}&=1-\frac1{x_1}\\ 同理，\frac{da}{dx_2}&=1-\frac1{x_2} \end{align}

要證

x_1+x_2>1+a

即證

g(a)=x_1+x_2-a>1

g(a)

的定義域是

(1,+\infty)

\begin{align} &\lim_{a\rightarrow 1^+}x_1,x_2=1\\ &\lim_{a\rightarrow 1^+}x_1+x_2-a=1\\ 即&\lim_{a\rightarrow 1^+}g(a)=1 \end{align}

\begin{align} \frac{dg(a)}{da}&=\frac{dx_1+dx_2}{da}-1\\ &=\frac1{1-\frac1{x_1}}+\frac1{1-\frac1{x_2}}-1\\ &=\frac{x_1}{x_1-1}+\frac{x_2}{x_2-1}-1\\ &=\frac{x_1x_2-x_1+x_1x_2-x_2-(x_1x_2-x_1-x_2+1)}{(x_1-1)(x_2-1)}\\ &=\frac{1-x_1x_2}{(1-x_1)(x_2-1)} \end{align}

用對數平均不等式易證

x_1x_2<1

故

g(a)

在

(1,+\infty)

上單調遞增

g(a)>1

數學歸納法使我想到了這樣的

d代換

的方法

比較\textbf{導數法}和\textbf{數學歸納法}\\ \begin{array}{c|c|c} 導數法&數學歸納法\\ \hline f(x_0)=0&n=n_0\ 時結論成立\\ \hline 證明\ f’(x)>0，相當於證明了：&\\ 若\ x=x_0\ 時\ f(x)>0\ 成立，&若\ n=k\ 時結論成立，\\ 則\ x=x_0+dx\ 時\ f(x)>0\ 也成立&則\ n=k+1\ 時也成立 \end{array}

二者非常

相似

，區別主要在於：

導數法

適用於

實數域

；

數學歸納法

適用於

整數域 .

導函式法的確可以看成是實數域上的「數學歸納」.