若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？喝水2020-10-19 11:58:20

這不是高中基本的Cauchy不等式？

(a^2/4+b^2/9+c^2)(4+9+1)\geqslant (a+b+c)^2=16

於是最小值

8/7

。

取等號條件

(a/2)/2=(b/3)/3=c/1

，加上約束

a+b+c=4

得到取等號時相應

(a,b,c)

可以取

(8/7,18/7,2/7)

。

關於Cauchy不等式

https：//

baike。baidu。com/item/%E

6%9F%AF%E8%A5%BF%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F/212423？fr=aladdin

我簡直驚了。剩下倆個個人簡介看上去牛的不行。高中數學不知道學沒學過。

無關正文：掛槓精。

@何宏健

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？

我真是驚了。在回答裡面扯一些有的沒的。這個回答方法1相比Cauchy不等式是更加麻煩的做法。方法2也不知道在扯什麼。拉格朗日乘子法我更是醉了，一個明顯在考察高中Cauchy不等式的題目非要用超綱內容去解。

你扯這麼多話，到最後連個解答都沒有。我最看不慣這種嘴皮子功夫一堆，不解決問題的做法。

同樣看不慣扯一些明顯不必要的東西（比如拉格朗日乘子法）去解決一個很簡單的問題。

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？

然後別人給瞭解答，開始陰陽怪氣。本來是在解答問題，開始扯東扯西。我真是服了。高中作業做不出來請教別人是很正常的學習和交流。我自己高中題目解不出來也要和班上會解的同學交流。居然和作弊能扯上關係？

你覺得題主考試的時候能在知乎上提問？知乎那麼多問解題的你全去舉報了？

老師上課講解題目也是要給出完成解題過程的。到這人這裡成了幫人作弊。

作業的目的就是找到沒有掌握的知識點和技巧。作業不會做就是要不斷訓練，在作業裡請教別人是很正常的。一直訓練到自己會為止。就算是Cauchy不等式這種基礎，一開始也不是誰都會的，不會的人就是要靠多做題目來訓練自己。

我說這個人是槓精，硬抬槓，居然還被建議修改。我真是服了。

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？Will2020-10-19 12:01:05

最簡單的做法是用柯西-斯瓦茲不等式去湊：

\Sigma{x_i^2}\Sigma{y_i^2}\geq(\Sigma{x_iy_i})^2

，換到這裡就是

[({{a}\over{2}} )^2+({{b}\over{3}} )^2+c^2]\cdot[2^2+3^2+1]\ge(({{a}\over{2}} )\cdot2+({{b}\over{3}} )\cdot3+c)^2

，即

[({{a}\over{2}} )^2+({{b}\over{3}} )^2+c^2]\cdot14\ge(a+b+c)^2

，也即

[({{a}\over{2}} )^2+({{b}\over{3}} )^2+c^2]\ge(a+b+c)^2/14=8/7

，當且僅當

{a\over2}:{b\over3}:c=2:3:1

時等號成立。

用笨但通用的做法是，因為任意階可微，消去一個變數後化簡，然後對剩餘變數求偏導，偏導都必須為零。對於這裡全二次項，開口向上的情況，也不用確認了，導數為零處即最小值，算出來也是一樣的。

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？洪濤2020-10-19 12:46:29

我提供一個新思路，另a=2x，b=3y，c=z，那麼2x+3y+z=4表示一個平面，x^2+y^2+z^2的最小值即原點到該平面的距離的平方，運用立體幾何的知識可求得該最小值是8/7

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？格洛米2020-10-19 16:06:01

8/7

若 a、b、c 為實數，且 a＋b＋c＝4，則 a²4＋b²9＋c² 的最小值是什麼？知乎使用者2021-07-07 22:33:56

Cauchy

：

求

\min(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{9}+c^2)

配個係數

(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{9}+c^2)(4+9+1)\ge (a+b+c)^2=16

即

\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{9}+c^2\ge \frac{8}{7}