83823堃2021-11-10 22:07:57設五次函式
y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
則求導，得：y’=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e
（1） 如y’=0沒有實根
則：要麼y’>0，y單調遞增， 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線，例如：y=x^5+x
要麼y’<0，y單調遞減， 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線，例如：y=-x^5-x
（2） 如y’=0只有一個實根x1， 則必為重根
如為兩重根，則：y’=（x-x1）^2*Q（x）， 其中Q（x）=0無實根
則：要麼Q（x）>0，當x不等於x1，y’>0， 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線（只是在x=x1附近較平坦）， 例如：y=x^5+x^3
要麼Q（x）<0，當x不等於x1，y’>0， 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線（只是在x=x1附近較平坦）， 例如：y=-x^5-x^3
如為四重根，則：y’=5a（x-x1）^4
如a>0， 當x不等於x1，y’>0， 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線（只是在x=x1附近較平坦）， 例如：y=x^5
如a<0， 當x不等於x1，y’>0， 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線（只是在x=x1附近較平坦）， 例如：y=-x^5
（3） 如y’=0只有兩個不等實根x1，x2 （x2>x1）
則：y’=（x-x1）（x-x2）*Q（x）， 其中Q（x）=0無實根
則：要麼Q（x）>0，當x>x2及x 五次函式的影象是： x從-∞到x1單調遞增，在x1達到區域性的最大值，再從x1到x2單調遞減，在x2達到區域性的最小值，再從x2到+∞單調遞增。 ——————-例如：y=（1/5）x^5+（1/4）x^4+（1/3）x^3+（1/2）x^2 要麼Q（x）<0，當x>x2及x 五次函式的影象是： x從-∞到x1單調遞減，在x1達到區域性的最小值，再從x1到x2單調遞增，在x2達到區域性的最大值，再從x2到+∞單調遞減。 ——————-例如：y=-（1/5）x^5-（1/4）x^4-（1/3）x^3-（1/2）x^2 （4） 如y’=0有兩個不等實根x1，x2 （x2>x1），且它們都是兩重根 則：y’=5a（x-x1）^2*（x-x2）^2 如a>0， 當x不等於x1，x2， y’>0， 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線（只是在x=x1及x=x2附近較平坦）， 例如：y=（1/5）x^5+（1/2）x^4+（1/3）x^3 如a<0， 當x不等於x1，x2， y’<0， 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線（只是在x=x1及x=x2附近較平坦）， 例如：y=-（1/5）x^5-（1/2）x^4-（1/3）x^3 （5）如y’=0有三個不等實根x1，x2，x3 （x2>x1），且x3是兩重根 則：y’=5a（x-x1）*（x-x2）*（x-x3）^2 如a>0， 當x不等於x3， x>x2及x 五次函式的影象是： x從-∞到x1單調遞增，在x1達到區域性的最大值，再從x1到x2單調遞減，在x2達到區域性的最小值，再從x2到+∞單調遞增。 （只是在x=x3附近較平坦）， 如a<0， 當x不等於x3， x>x2及x 五次函式的影象是： x從-∞到x1單調遞減，在x1達到區域性的最小值，再從x1到x2單調遞增，在x2達到區域性的最大值，再從x2到+∞單調遞減。 （只是在x=x3附近較平坦）， （6） 如y’=0只有兩個不等實根x1，x2 （x2>x1），其中一個，比如x2是三重根，討論方法與（3）中的類似，可以把（x-x2）^2看成是Q（x） （7） 如y’=0有四個不等實根x1，x2，x3，x4 （x4>x3>x2>x1） 則：y’=5a（x-x1）（x-x2）（x-x3）（x-x4） 如a>0， 當x 當x1 五次函式的影象是： x從-∞到x1單調遞增，在x1達到區域性的最大值，再從x1到x2單調遞減，在x2達到區域性的最小值，再從x2到x3單調遞增， 在x3達到區域性的最大值， 再從x3到x4單調遞減， 在x4達到區域性的最小值， 再從x4到+∞單調遞增。 如a<0， 當x 當x1 五次函式的影象是： x從-∞到x1單調遞減，在x1達到區域性的最小值，再從x1到x2單調遞增，在x2達到區域性的最大值，再從x2到x3單調遞減， 在x3達到區域性的最小值， 再從x3到x4單調遞增， 在x4達到區域性的最大值， 再從x4到+∞單調遞減
