無為輕狂2021-12-12 03:53:38換元充要條件是原函式單調可導，且不要忘記計算完後回代
把複合函式的微分法反過來用於求不定積分，利用中間變數的代換，得到複合函式的積分法，稱為換元積分法，簡稱換元法，換元法通常分為兩類：
第一類換元法：
設f（u）具有原函式F（U），即。
F‘（U）=f（u），∫f（u）du=F（U）+C。
如果u是中間變數，u=φ（x），且設φ（x）可微，那麼，根據複合函式微分法有：
dF（φ（x））=f（φ（x））φ’（x）dx。
從而根據不定積分的定義就得：
∫f［φ（x）］φ‘（x）dx=F［φ（x）］+C=［∫f（u）du］ （u=φ（x））。
於是有下述定理：
定理1：設f（u）具有原函式，u=φ（x）可導，則有換元公式：
∫f［φ（x）］φ’（x）dx=［∫f（u）du］ （u=φ（x）） （1）。
將所求積分∫φ（x）dx表成∫f［φ（x）］φ‘（x）dx就是湊微分過程，然後就是換元，也就是將積分變數x換成u；最後是求原函式，實際上就是∫f［φ（x）］φ’（x）dx不好求。
而∫f（u）du好求，所以先求出後一個不定積分；最後再將變數u換成x。當熟練掌握這一方法後，可以不必引入變數u。
由此定理可見，雖然∫f［φ（x）］φ‘（x）dx是一個整體的記號，但從形式上看，被積表示式中的dx也可當作變數x的微分來對待，從而微分來對待。
從而微分等式φ’（x）dx=du可以方便地應用到被積表示式中來，我們在上節第一題目中已經這樣用了，那裡把積分∫F‘（x）dx，記作∫dF（x），就是按微分F’（x）dx=dF（x），把被積表示式F‘（x）dx。記作dF（x）
設要求∫g（x）dx，如果函式g（x）可以化為g（x）=f［φ（x）］φ’（x）的形式，那麼：
∫g（x）dx=∫f［φ（x）］φ‘（x）dx=［∫f（u）du］ （u=φ（x））。
這樣，函式g（x）的積分即轉化為函式f（u）的積分，如果能求得f（u）的原函式，那麼也就得到了g（x）的原函式。
第二類換元法：
上面介紹的第一類換元法是透過變數代換u=φ（x），將積分∫f［φ（x）］φ’（x）dx化為積分∫f（u）du。
下面將介紹的第二類換元法是，適當地選擇變數代換x=φ（t），將積分∫f（x）dx化為積分，∫f［φ（t）］φ‘（t）dt，這是另一種形式的變數代換，換元公式可表達為：
∫f（x）dx=∫f［φ（t）］φ’（t）dt。
這公式的成立是需要一定條件的，首先，等式右邊的不定積分要存在，即∫f［φ（t）］φ‘（t）dt有原函式；其次，∫f［φ（t）］φ’（t）dt求出後必須用x=φ（t）的反函式t=φ^（-1）（x）代回去。
為了保證這反函式存在而且是可導的，我們假定直接函式x=φ（t）在t的某一個區間（這區間和所考慮的x的積分割槽間相對應）上是單調的，可導的，並且φ‘（t）=0。
歸納上述，給出下面的定理：
定理2 設x=φ（t）是單調的，可導的函式，並且φ’（t）≠0。又設f［φ（t）］φ‘（t）具有原函式，則有換元公式。
∫f（x）dx={∫f［φ（t）］φ’（t）dt} （t=φ^（-1）（x））（2）。
其中φ^（-1）（x）是x=φ（t）的反函式。
注意：與第一類換元積分法相反，第二類換元積分法就是由於積分∫f（x）dx不便計算，而改求∫f［φ（t）］φ‘（t）dt。關鍵是：如何選擇變數替換。
