使用者93369143100722020-04-16 16:03:25定理敘述：數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m，n>N時，有|xn-xm|
將柯西收斂原理推廣到函式極限中則有：函式f（x）在無窮遠處有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有Z屬於實數，當x，y>Z時，有|f（x）-f（y）|
此外柯西收斂原理還可推廣到廣義積分是否收斂，數項級數是否收斂的判別中，有較大的適用範圍。
證明舉例：
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+……+ ［（-1）^（n+1）］/n 有極限
證：
對於任意的m，n屬於正整數，m>n
|xn-xm|=| ［（-1）^（n+2）］/（n+1）+……+［（-1）^（m+1）］/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| ［（-1）^（n+2）］/（n+1）+……+［（-1）^（m+1）］/m |
=（1/n-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| ［（-1）^（n+2）］/（n+1）+……+［（-1）^（m+1）］/m |
=（1/n-1/（m-1）-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限
