使用者53364762857512021-02-26 20:33:12數學起源於人類對於自然現象的總結。比如古希臘的歐幾里得寫作《幾何原本》，創立了歐幾里得幾何學。它的出發點是五個基本公設，包括：1。 透過兩點能夠而且只能作一直線；2。 線段可以無限延長；3。 可以以任意點為圓心、任意長度為半徑，作一個圓；4。 所有的直角都相等；5。 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。
在這個五條基本公設的基礎上，可以透過邏輯推理，推出各種各樣的推論，建立整個歐幾里得幾何學的大廈。
從邏輯的角度來說，這五條基本公設是邏輯上的假定，它們之間是融洽的。從邏輯的角度來說，五條基本公設似乎是發明的。但是事實上，它們是從自然現象中總結出來的。也就是說它們是對世界的描述。所以我有時將歐幾里得幾何看成物理學的一部分。所以從整個對世界的認識來說，作為對世界的認識，這五條基本公設是發現的。 將它們從眾多的規律提煉出來作為基本公設，既有發現的成分，也有發明的成分。
伽利略說過（筆者翻譯自英文）：“只有當我們學會宇宙的語言並熟悉它的字句，我們才能閱讀宇宙這本書。它是用數學語言寫的，字母是三角形、圓與其它幾何圖形。”
五條基本公設確定以後，歐幾里得幾何學中的其他大大小小的定理都可以推匯出來。這些推論可以看成是在數學世界中的發現。既然五條基本公設是對自然界的描述，那些定理等幾何結論也是對自然界的描述。當然，可能會有人直接從自然界發現這個幾何規律。但是作為歐幾里得幾何的內容，需要證明。
後來，人們發現（邏輯上的發現），歐幾里得幾何的第五公設是可以放棄的。這導致了非歐幾何的創立。如果假設“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”，那麼就導致洛巴切夫斯基幾何或者叫雙曲幾何。如果假設“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行” ，那麼就導致橢圓幾何。 它們可以在曲面上實現，所以也是描述客觀世界的，只是先是從邏輯上發現的。
愛因斯坦說過：“數學規律是不是反映了現實世界，是不確定的；而其中所確定的部分，又不是關於現實世界的。”這就支援數學中有很多發明的成分。
然而在另一個層次上看，即使是發明，也可以看成是在柏拉圖式的抽象世界裡的“發現”。就是說，在給定的邏輯關係下，各種各樣的數學規律就在那裡了，你覺得發明了一個數學的東西，實際上在你發明之前，它在這個邏輯體系中已經存在。
這可以用一個事例來說明。楊振寧在搞懂規範場在數學上就是纖維叢後，跟陳省身表示這令他詫異，而且還說：“這既使我震驚，也令我迷惑不解，因為你們數學家憑空夢想出這些概念。”陳省身立即表示異議：“不，不。這些概念不是夢想出來的，它們是自然的，也是實在的。”
