帥氣的9號2020-04-18 22:32:09點球大戰之所以可怕，就在於它充滿變數和意外，這種變數對那些飛奔了 120 分鐘的球員來說，實在是沉重的心理負擔。當球員走上點球點時，他會選擇把球射向哪邊？而守門員又會撲向哪邊？這無疑是一場博弈，經濟學家和統計學家對此就做過不少研究。
在觀看過法國與義大利國內聯賽中共 459 個點球的錄影後，《魔鬼經濟學》作者 Steve Levitt 與他的朋友一起撰寫了一篇關於點球的論文。他們覺得，測試現實世界中的博弈理論能讓他們獲得獨特的視角，而點球恰好就是博弈論在現實世界中的最典型的例子。
就和猜硬幣一樣，始終選擇同一個方向顯然是不明智的——對方只要知道你的模式，就可以用相應的策略打敗你。搬弄一下博弈論的術語，就是“純策略不是最優策略”。永遠選擇同一個方向的純策略很直觀，最優策略解釋起來就有點麻煩。簡而言之就是說，在對方知道你的策略的前提下跟你玩，你選擇某個策略比選擇其他策略收益都高，那麼這個策略就叫最優策略。
但是，如果對方知道你的策略，難道不是總能找出應對立於不敗之地麼？那麼，我們來看看一個叫“混合策略”的做法：罰球員的策略是扔一個骰子，然後 1/3 的機率選擇三個方向之一。即使守門員知道罰球員是扔骰子決定的，他也沒辦法選擇該撲哪個方向；而無論他怎麼選，最後都是 1/3 機率撲中， 2/3 機率撲不中，最後結果是罰球員可以拿到2/3*1=2/3分。這比罰球員選擇只踢左邊的純策略要好得多：守門員知道罰球員選擇這樣的純策略的話，就可以每撲方向必中，這無疑就大大提高了撲出的機率。
在博弈論裡，但凡這種帶有隨機決定的策略，都稱作混合策略。不同的機率分佈對應不同的混合策略：例如罰球員可以選擇2/3機率踢左邊，1/3機率踢右邊的混合策略——當然這樣的話守門員只要選擇只撲左邊，就可以以2/3機率撲對方向，所以這樣的策略就不如剛才說的那種混合策略。如果考慮純策略和混合策略的話，所有零和遊戲裡必然所有人都有最優策略，而所有人都執行相應最優策略的情況，則被稱為納什均衡。
當然，實際點球可不會這麼簡單。最重要的一點在於，無論選對還是選錯方向，球都不是必進或必不進的。根據 Steve Levitt 論文裡的統計資料，球員向慣用的左側踢球比向右側的進球率高：球員向左側踢球的話，守門員即使選對了也有 63。6% 的機率進球；向右則是 43。7%。而守門員選錯的情況也不是必進的，根據罰球員向左還是向右踢有 5% 和 10% 的機率不進球。
如果把這一點應用在模型上，雖然具體資料有所差異，但模型表現和上面說的那個簡單模型是類似的——守門員和罰球員都存在唯一的最優策略，而且這個策略是一種混合策略。但是，根據具體的進球率數值不同，選擇哪種混合策略的機率也會有所不同。
不過經濟學家的研究終歸是紙上談兵。實際上，無論選擇什麼策略，在選擇的時候球員並沒有辦法判斷這個策略是好是壞。這也是每逢關鍵時刻，總有人走上點球點，深呼吸，然後立刻崩潰的原因。既然選擇什麼策略最好是如此的不靠譜，那麼統計球員罰球習慣或許更加靠譜。在 2006 年世界盃四分之一決賽，德國對陣阿根廷的點球大戰上，一張小紙條送阿根廷回了老家。在那張提前準備好的小紙條上，記載了阿根廷一些可能主罰點球的球員傾向性。
