使用者87060334633502021-03-02 21:11:57雞爪定理：三角形一內角的平分線與其外接圓的交點到其它兩頂點的距離及到內心與旁心的距離相等。
雞爪定理指的是設△ABC的內心為I，∠A內的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓於K，則KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC組成的圖形，形似雞爪，故被稱為雞爪定理。
基本資訊
中文名
雞爪定理
外文名
Chicken theorem
應用學科
平面數學
證明
1。證明：由內心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=（180°-∠ABC）/2
∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ
同理，∠ICJ=90°
∵∠IBJ+∠ICJ=180°
∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑
∵AK平分∠BAC
∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）
又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB
∴KB=KI
∵IBJC四點共圓 且 KB=KI=KC
∴點K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個以上的點的距離相等）
∴KB=KI=KJ=KC
2。證明：∵E為內心，∴BE平分∠ABC，∴∠2=0。5∠ABC，
∵F為旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF=0。5∠MBC
∴∠1+∠CBF=0。5（∠ABC+∠MBC）=0。5×180o=90o，
∴∠EBF=90o，同理：∠ECF=90度，
∴∠EBF+∠ECF=180o， E、B、F、C四點共圓。
∵AD平分∠BAC，且B，D，C三點在△ABC外接圓上，∴DB=DC。①
∵∠6=∠1+∠3，∵∠3=∠4=∠5，∴∠6=∠1+∠5，∵∠1=∠2
∴∠6=∠2+∠5，∴DE=DB。比較①得：DB=DC=DE；
∵E、B、F、C四點共圓，∴D為E、B、F、C四點外接圓的圓心，
雞爪定理的證明
∴DB=DC=DE=DF，定理得證。
