83823堃2021-10-20 19:04:18連續函式不一定有界
如：y=x連續函式但無界
y=1/x在（0，1］上連續但是無界
一般是連續函式在閉區間上必有界
函式在某一點連續必定在該點有極限（且這個極限就是該點的函式值）但反過來不一定，因為f（x）在某一點有極限時，在該點並不一點有定義，所以不一定連續。
函式在某一點連續也必定意味著函式在該點附近的任意一個有定義的去心鄰域內有界，反過來不一定，即有界不一定連續。
函式在某個區間內連續則必定在該區間上可積，但反過來不一定，例如著名的黎曼函式，在［0，1］上的所有有理點（除了0）都不連續，但它確是可積的。
勒貝格測度
僅從數學分析中的一些重要結果如積分與極限交換次序、重積分交換次序、牛頓一萊布尼茨公式等來看，黎曼積分要求的條件苛刻，對於一些問題的處理顯得力不從心，但是在勒貝格積分的框架下，上述問題就會得到較為圓滿的解決。
另外為引入積分而得到的勒貝格測度概念還使數學分析中本來很難講清楚的一些道理（如單調函式的可微性、黎曼可積的充要條件等）變得清晰。
方絲2021-12-16 20:42:16區域連續函式必須有界嗎？
區域連續函式必須有界嗎？
有界函式不一定是連續函式。如y=1，x是奇數；y=2，x是偶數，y=0，x的其他情況。
這個函式有界（有界的定義，存在m使m大於y的任何函式值），而顯然不連續。例子很多的。
不過連續函式在其定義域內總是有界的。
漣漪2021-10-23 23:35:34解：函式在某一點連續的定義就是在該點極限存在
從而連續的函式一定存在極限；
第二句話，連續函式一定有界。
這句話必須加一個前提，
是閉區間連續函式必有界而且有最大值最小值。
不加是錯的，比如y=x，連續但無界
無為輕狂2021-10-04 22:53:23不一定，比如正切函式。
要看這個區間是不是閉區間，如果是閉區間那一定有界，因為函式在閉區間內連續意味著其在右端點左連續，在左端點右連續。確定住左右，在這個區間內又連續，那必然會有最大值和最小值。
開區間不一定有界，例子是tanx。
連續函式不一定有界
如：y=x連續函式但無界
y=1/x在（0，1］上連續但是無界
一般是連續函式在閉區間上必有界
