數學掃地僧2018-06-02 06:32:45簡單的說， 泛函就是定義域是一個函式集，而值域是實數集或者實數集的一個子集的對映。再一般一點， 泛函就是從任意的向量空間到標量的對映。也就是說，它是從函式空間到數域的對映。形象一點來說，
泛函就是你輸入一個函式，返回得到一個數值。泛函的值是由自變數函式所確定的，所以也可以將其理解為函式的函式。常見的有線性泛函，二次泛函等。
由泛函這個概念出發，產生了泛函分析這一學科。泛函分析不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念方法幾何化了，賦予了它們幾何結構。比如，不同型別的函式可以看作是“函式空間”的點或向量，這樣最後得到了“抽象空間”，它既包含了以前討論過的幾何物件，也包括了不同的函式空間。
變分是與泛函相對應的概念。變分，就是微分在函式空間的拓展，其精神內涵是一致的。由變分形成了變分法這一方法學科，它最終求的是極值函式使得泛函取得極值。幾乎所有的物理和力學的基本規律都可以陳述為規定某一泛函的變分應該是0的“變分法原理”，變分法使許多重要的物理問題及技術問題得以解決。變分法不僅在數學物理中有重要應用，在諸如經濟學等其他學科中也發揮著重要的作用。
