這樣的數學歸納法是否成立？予一人2020-06-17 23:25:12

這種「反向歸納法」是不合法的。下面舉一個簡單的反例：

設

P(n)

的斷言是：

\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}

是無理數。 很顯然，當

n\to \infty

時，

P(n)

成立；假若

n=p

時，命題成立，則

n=p-1

時，因

\sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{k!}=-\frac{1}{p!}+ \sum_{k=0}^p \frac{1}{k!}

，這是有理數與無理數之和，也是無理數，所以命題也成立。於是，如果這歸納法合法，可以斷言

P(n)

對所有

n

成立，但是，很清楚這是荒謬的！

請注意：數學歸納法研究的關於自然數

n

的命題，總是對

有限

的

n

（儘管它可以任意地大）進行斷定的，切勿草率地推廣到

n\to \infty

的場合，因為：

無窮大不是任何自然數的後繼

\text{(successor)}

，或者說，無窮大根本就不是自然數。

這個問題很深刻，具體分析請查閱

\text{Peano}

公理的有關內容。

附帶說一句，即使是通常的正向歸納法，也不能推廣到

n\to \infty

的情形，你只要稍微改造一下上述反例就可以很輕鬆地得到一個新的反例。

這樣的數學歸納法是否成立？知乎使用者2020-06-18 13:46:55

反向歸納法是可行的，但你的寫法不對。

如果

P(n)

只是涉及自然數的命題，那麼

n\rightarrow\infty

時，命題成立的含義根本就不明確。你根本就沒有定義

P(\infty)

，如果你想說n足夠大時

P(n)

都成立，那麼條件過強以至於結論是顯然的廢話。

正確的表述是，存在序列

k_n\to \infty

， 每個

P(k_n)

為真。

或者，

\forall m\in N,\exists k>m,P(k)

為真。

例如，先歸納證明

P(2^n)

成立。

這樣的數學歸納法是否成立？葡萄味的玉米2020-06-18 15:22:47

不請自來

這樣的數學歸納法是否成立？

這才是反向數學歸納法

以上

這樣的數學歸納法是否成立？AlphaBetaQuant2020-06-18 22:03:57

【1】如果這種歸納法成立，可以證明每一個自然數都是無窮大。

構造數列

a_n=n

。

首先

\lim_{n\to \infty} a_n=\infty.

其次假設

a_n=\infty,

則

a_{n-1}=a_n-1=\infty.

因此根據題目中的數學歸納法，對於所有

n

有

a_n=\infty,

即所有自然數都是無窮大。

【2】如果這種歸納法成立，還可以證明

1=0。

構造數列

a_n=\frac{1}{2^{n-1}}.

首先

\lim_{n\to \infty} a_n=0.

其次假設

a_n=0

則

a_{n-1}=2a_n=0.

因此根據題目中的數學歸納法，對於所有

n

有

a_n=0.

自然當

n=1

時，

a_1=1=0.

這樣的數學歸納法是否成立？Yuz.Scarlet2020-06-19 10:44:58

一般沒有“當

n\to\infty

時命題成立”這種敘述的定義，所以為了完善定義比較好的方法是考慮所有命題在等價關係下的商集，併為之賦予拓撲，使得

\wedge

，

\vee

，

\neg

，

\to

分別是連續對映（其中任意二者連續則其他均連續）。在這樣的條件下原題目是定義良好的。

已知

P(n)\to P(n-1)=1

恆成立，並且

\lim_{n\to\infty}P(n)=1

，求證

P(n)=1

。

因為

P(m)\to P(n)=1

對任意

m\geq n

成立，因此

1=P(m)\to P(n)=\lim_{m\to\infty} (P(m)\to P(n))

=(\lim_{m\to\infty} P(m))\to P(n)=1\to P(n)

=P(n)

綜上命題得證

一個例子是，考慮有窮可加的有限測度空間

X

上的單變元命題

\varphi

，定義運算

\varphi+\phi=(\varphi\wedge\neg \phi)\vee (\neg \varphi\wedge\phi)

，可以注意到這樣的加法具有交換律和結合律，同時

\varphi+0=\varphi

，

\varphi+\varphi=0

。其中

0

表示假命題（的等價類）

因此，全體命題構成了群。

透過規定

\|\varphi\|=\mu(\{x\in X:\varphi(x)\})

，全體命題具有了距離結構，成為距離拓撲空間。

例如，當

X=[0,1]

時，對於命題

\varphi_n(x)\equiv x\geq \frac{1}{n}

，因為

\|\varphi_n(x)\|=1-\frac 1n

，所以有

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=1

成立，直觀上就是這個命題隨著

n

增大越來越正確。但是注意到

\varphi_n\rightarrow \varphi_{n-1}\equiv x\geq \frac{1}{n}\rightarrow x\geq \frac{1}{n-1}\equiv x<\frac{1}{n}\vee x\geq\frac{1}{n-1}

，所以

\|\varphi_n\to\varphi_{n-1}\|=1-\frac{1}{n(n-1)}

，雖然有

\lim_{n\to\infty} \varphi_n\to\varphi_{n-1}=1

但是

\varphi_n\to\varphi_{n-1}\neq 1

，所以不會因為歸納法產生矛盾。