飲冰2017-11-06 20:15:40這個問題問得好。深究起來數學歸納法其實是需要證明的。
有的高等代數書上用良序原理證明了最小數原理，然後再用最小數證明數學歸納法。。。然而有人在Wikipedia上指出其中有漏洞。。。可見這個問題不好理解。
數學歸納法嚴格推究起來等價於良序原理。證明遠非高中生應付考試所需要的。
其實，現在就是靠多米諾骨牌原理理解數學歸納法不就挺好的嗎？非要窮根究底起來，你會發現最熟悉的自然數你也沒學過它的嚴格定義，更別提良序原理了。
知乎使用者2017-11-06 22:49:43就像很容易理解
…………………………………………（*）
對於任意的a都成立一樣，我們考慮這句話：
成立能推出
成立
這是一個由已知（
成立）和推論（
成立）組成的命題
只要證明這個命題（一個敘述中包含K的命題，和（*）式類似）是成立的，它當然對任意正整數k都成立了
P.S.這裡的k代表的是某一個給定的數，而不是一群數
P。P。S 潘承洞、潘承彪老師寫的《初等數論》（第三版），裡有用數學歸納法原理證明最小數原理；用歸納公理證明數學歸納法原理的內容，並在附錄裡介紹了良序原理，我認為寫的很清晰，可以參考
LLjpcz2017-11-07 13:01:49數學歸納法體現了自然數 結構 的一個特點。
用通俗形象的語言去描述，這個特點是這樣的：
現有數字0，反覆的做如下操作，令現有的數字加1，得到新的數字。這個過程得到的一串數字將 遍歷 自然數集。
直觀的想象這個性質是不困難的。
從證明層面的角度，在Peano公理系統裡，數學歸納法就是第五公理（又名歸納原理）。由於Peano公理是 描述 自然數的公里系統，可以說，上述的那個特點是自然數最本源的特點之一。不滿足這個特點的結構（數系）不配成為自然數結構。
在ZFC公理系統裡看的話，由於自然數是被 構造 出來的（被構造出來的和被描述出來是截然不同的）。我們可以對數學歸納法有一個詳細的證明。因為這個證明要從ZFC的內容講起，過程不免冗長。題主有興趣的話可以閱讀《集合論——對無窮概念的探究》，作者 郝兆寬、楊躍，出版社 復旦大學出版社。
渣神Jason2017-11-08 10:26:36正好最近在看一些數理邏輯的東西，嘗試回答一下。我覺得前
@LLjpcz
和
@李啟超
基本回答了你的問題，要理解數學歸納法，首先要“大致”理解一下自然數，也就是0，1，2，4，。。。這些東西究竟是個什麼東西。簡單來說，有兩類框架來解釋。一是Peano公理系統，它用幾條公理“規定“了什麼是自然數，以及自然數的性質。在這個Peano公理系統下，數學歸納法就是它的公理，不用證明。還有一種是集合論，即從集合論的角度出發“構造”自然數。有好幾種不同的構造法，大致意思是每個自然數都是一個集合，至於什麼是集合，那就看ZFC公理，它“規定”了什麼是集合，集合具備什麼性質。本人還不懂集合論，所以這裡無法給出太多有意義的回答。不過根據前面答主的答案，大致可理解為數學歸納法可透過ZFC公理去證明。
實際上多數人對數學歸納法都能建立“樸素”理解，就像多米諾骨牌一樣。題主的問題“
P(K）成立則P（K+1）成立”，是否就真的證明了“對任意自然數K，若P(K）成立則P（K+1）成立”
”，還有提到的“
用字母代表一群數
”，其實有點模糊不清，但我這樣理解題主的疑惑：如果證明了“
P(K）成立則P（K+1）成立,
是否不用K，換個符號比如J，也有“
對任意自然數J，若P(J）成立則P（J+1）成立
”？
一般來說，數學歸納法是想透過“若P（K）成立則P（K+1）成立”，來建立“對於任意自然數K，P（K）都成立”。也許題主想問的正是這個，這個就涉及到數學歸納法為什麼成立的問題，又回到第一段的解讀。但如果題主的疑惑是上述第二段說的那樣，那我倒可以給出一個解答。
這個解答很簡單，就是一階邏輯系統，它是一個形式邏輯，把一切東西通通變成一串符號。它還包括一些公理，以及推導規則。所謂的公理就是“強行規定”一些符號串“必須存在”，推導規則就是給定幾個符號串，如何匯出下一個符號串的存在。一階邏輯系統常用的兩個推導規則就是MP和Gen。有了符號表示（即形式語言），公理，推導規則，就能從公理出發，推匯出其它的“符號串”，也就是定理。或者給定一些前提，就是你強行規定一些符號串必須存在，結合公理和推導規則，能得出更多符號串的存在。所謂的“證明”，就是一個符號串序列，這個序列中每個位置都是一個符號串，這個符號串必須滿足兩個條件：要麼它是公理，要麼它由在它前面的符號串加上推導規則而得出。這個序列最後一個位置的符號串就是你要證明的東西。所以對於一個符號串，要“證明”它，就是要找出這麼一個“符合遊戲規則”的符號串序列。
所以題主的“
對任意自然數K，若P(K）成立則P（K+1）成立
”可以變成一串符號。把K換成J的“
對任意自然數J，若P(J）成立則P（J+1）成立
”可以變成另一串符號。這兩串符號的區別就是，第一串符號出現K的位置，在第二串符號中用J代替。如果前一個符號串（包含K的）存在，那麼後一個符號串（包含J的）是否存在呢？樸素的解答當然是顯然存在，K表示任意變數，我也可以用J表示任意變數，講的都是一個意思，憑什麼不成立？
但嚴格按一階邏輯系統的遊戲規則來玩的話，這個存在是可以證明的，大致證明思路是這樣玩的：
序列第一個位置：包含K的符號串存在
序列第二個位置：（所有K）包含K的符號串存在，// 由Gen規則推導加上第一步推導得出
序列第三個位置：包含J的符號串存在， // 由其中一個公理加上MP規則得出
上述的證明是一個符號串序列，包含三個符號串，最後一個位置就是要證明的東西。其中最關鍵是第二步，它也是一個符號串，它在第一步的基礎上增加了左括號“（”， “所”，“有”，右括號“）”這幾個符號。它的存在是基於第一步的存在，加上Gen規則。這個Gen規則可大致理解成，若包含某個自由變數K的符號串存在，那麼對這個自由變數做個全稱量詞限定，即“（所有K）”，產生的符號串也存在。上述序列的第三步是用了一個公理，具體細節這裡就不展開了。由此可見，把K換成J後的“
對任意自然數J，若P(J）成立則P（J+1）成立
”在一階邏輯系統的框架下，是可以證明的。
希望上述回答對題主有幫助，更多細節和理解還是要找本數理邏輯的書看看，前面幾章一般就是講命題演算和一階邏輯系統。如果想讀有趣的科普讀物，知乎上有人推薦過“邏輯的引擎”，作者是斯坦福的數學系教授，用直白的語言講述了數理邏輯的前世今生，也包括諸如康託、希爾伯特、羅素、歌德爾等人的名人軼事。
知乎使用者2018-09-28 18:31:07偶然看見了，寫一下Peano公理好了。
Peano公理定義了啥是自然數
當然我們偉大的人民教育出版社重新定義了一下，說0是自然數，雖然0很不自然……
………………
1、1是自然數（存在性）
2、任何自然數都有其後繼（其實是定義了數數，1，2，3，4，5，。。。直覺上我們就是這樣一直數下去的——然而後面三條都在定義，什麼叫“數下去”）
3、自然數的後繼唯一（a，b兩數的後繼相等可以推得a，b兩數相等）
4、1不是任何自然數的後繼（想象一下，數數的時候我們也經常數121……121……1——2——3——4！1——2——3——4！的……然而這麼數的時候，我們並沒有拿這幾個數字當自然數）
5、對於集合S，如果1屬於S且對任意a屬於s，a的後繼（記為a+1）也屬於S
則S包含整個自然數集。
第五條就是數學歸納法的原理。
其實也是我們數數的原理。
我們堅信從1開始，一個個數字往下數，只要我們有無窮多的時間，我們完全可以不重不漏地數到自然數中的每一個數字
也就是，從一開始，
數學歸納法就是公理的
。
