前景提要：

Monsoon：［相對論］ Schwarzschild黑洞

在上一篇文章中介紹了Schwarzschild黑洞和視界，其中採用史瓦西座標來描述史瓦西時空的幾何特性。但史瓦西座標在視界有因座標選擇而產生的奇異性，我們需要

重新選擇座標系

來使得這個奇異性得到消除，而代價是新選擇的座標系可能沒有那麼直觀。我們原先的概念，比如徑向位置，時間，在史瓦西座標系下都是軸上的點來反映。而到了新座標系，它們可能會變成

超曲面

而不是點。另外，新的座標系應當與史瓦西座標系所描述的時空性質相同，只不過它在視界上不再奇異，這是解析延拓的原則，

拓展流形的範圍而不改變原範圍內的結構

。由於史瓦西時空是球對稱的，我們只需要對徑向位置

r

和時間

t

重新尋找座標系。

下面我們展開一次嘗試——

愛丁頓-芬克斯坦座標(Eddington-Finkelstein)

我們把史瓦西座標的徑向位置

r

和時間

t

做一次提取公因式的操作

\begin{align} \text{d}s^2&=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\text{d}t^2+\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)^{-1}\text{d}r^2\\ &=\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\left[ -\text{d}t^2+\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)^{-2}\text{d}r^2 \right] \end{align}\\

我們可以透過選取新的、滿足

\text{d}r

的座標

r

來使得

\text{d}s^2=\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\left[ -\text{d}t^2+\text{d}r

很多教材把

r

到

r

的座標變換稱作“烏龜座標（tortoise coordinate）”。我認為這是很糟糕的一個概念引入，把簡單的事情複雜化。我們可以直接引入超前變換與推遲變換的概念，這個座標變換有解

r

這本質上就是把在

(0,R_s)\cup(R_s,\infty)

上良定義的

r

仿射到

(-\infty,\infty)

，從表示式來看兩個座標在

r=0

處相交。而注意到

r

在

R_s

處座標奇異，但

r

顯然在整個

(-\infty,\infty)

上不奇異。且

\ln

函式具有保序性，所以

r

不僅保護了

r

的定義，並且延拓了座標。我把（1）這種變換稱作

超前變換(Advanced transform)

。同理可以得到

推遲變換(Retarded transform)

，我們合併寫一下

k

其中

k

是物理量。由於我們希望保留

r

作為徑向位置的概念，所以我們對時間

t

進行超前變換變為

t

t

我們將這個結果代入史瓦西座標替換原來的

\text{d}t^2

，得到

\begin{align} \text{d}s^2&=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\text{d}t

這個新的座標稱為

AEF

（Advanced Eddington-Finkelstein，超前愛丁頓-芬克斯坦座標）

座標

，它在

r=R_s

處雖然會導致

g_{00}=0

，但

g_{rr}

和

g_{tr}

的存在保護了度規，讓它不是退化的。所以AEF座標在

R_s

是沒有奇異性。但問題在於，我們說解析延拓不能改變在原範圍內的結構。史瓦西座標是具有時間反演不變性的，所以

我們希望延拓後的那個時空也是時間反演不變的，並且在視界處不是奇異的

。我們稱為

最大延拓時空

。

而AEF座標明顯破壞了這一性質。從（2）看來，雖然視界奇異性的問題解決了。但由於時空交叉項的出現，採取時間反演導致座標會發生變化，這時時空不再是靜態的。所以AEF座標只覆蓋了最大延拓那個流形的一部分，也就是隻是最終我們希望得到的那個時空的一部分。

由於它的時空交叉項符號是正的，AEF座標描述了一個“進入”黑洞的時空，或者說朝黑洞演化的一個時空。有鑑於此，在一開始我們對時間進行推遲變換

t

那麼就會得到AEF的時間反演座標，稱為

REF

（Retarded Eddington-Finkelstein）

座標

。可想而知，REF座標描述了黑洞的反演，物質從視界冒出來，所有的物理朝著黑洞性質相反的方向進行。這樣的時空解稱為

白洞

。AEF描述的黑洞和REF描述的白洞，都只是最大延拓時空的一部分。

現在我們分析一下。在愛丁頓-芬克斯坦座標中，我們丟掉時空反演不變性的起因，主要有兩點：1。 我們對時間進行了超前變換和推遲變換；2。 時間二次項前的係數在

r=R_s

時是

0

。

其中，超前變換和推遲變換會導致時空交叉項的出現，並且同時時間二次項的係數在

r=R_s

時是

0

。

那讓我們回到對

r

的超前變換

r

這就有

\begin{align} \text{d}s^2&=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\text{d}t^2+\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)^{-1}\text{d}r^2\\ &=\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\left[ -\text{d}t^2+\text{d}r

為了在視界

r=R_s

處，時間二次項仍然存在（度規不退化），我們勢必要採用

含有引數的指數座標

，形如

\text{e}^{\alpha t}

。

透過調控微分後產生的引數係數來消滅奇異項

\left( r-R_s \right)

，以實現座標的解析延拓。我們可以設這個座標下的基底為

\xi、\eta

，其中

\xi=e^{\beta u}，\eta=-\text{e}^{-\beta v}\\ \text{d}\xi=\beta\text{e}^{\beta u}\text{d}u，\text{d}\eta=\beta\text{e}^{-\beta v}\text{}dv\\

\text{d}\xi\text{d}\eta=\beta^2\text{e}^{\beta(u-v)}\text{d}u\text{d}v\\\tag3

這時，我們就有了含參

\beta

的指數座標。而中介座標

u、v

可以根據平方差公式來設定

uv=r

u、v

有兩種情況：1。

u=r

；2。

u=t+r

注意到（3）中指數上出現的

u-v

。情況1會導致度規含時：

u-v=-(v-u)=2t

，這甚至違反了史瓦西時空穩態的條件，是不可取的。那麼也就只有情況2了。並取

\text{d}s^2=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\left[ \text{d}t^2-\text{d}r

代入

u、v

進行計算，有

\begin{align} \text{d}s^2&=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\text{d}u\text{d}v\\ &=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\beta^{-2}\text{e}^{\beta(v-u)}\text{d}\xi\text{d}\eta\\\text{Hint: }&\ v-u=-2r

由消滅奇異項的目的，可以解出引數

\beta

\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)\left( \frac{r}{R_s}-1 \right)^{-2\beta R_s}=\left( \frac{r-R_s}{r} \right)\left( \frac{r-R_s}{R_s} \right)^{-2\beta R_s}=不含(r-R_s)\\ -2\beta R_s=-1\longrightarrow\beta=\frac{1}{2R_s}\\

則

\text{d}s^2=-\left( 1-\frac{R_s}{r} \right)(2R_s)^2\text{e}^{-\frac{r}{R_s}}\left( \frac{r}{R_s}-1 \right)^{-1}\text{d}\xi\text{d}\eta\\ =-\frac{4R_s^3}{r}\text{e}^{-r/R_s}\text{d}\xi\text{d}\eta

鑑於像史瓦西座標那樣，時空項相互分離更能直觀地體現時空反演不變性，也更方便引入類似於“光錐”的概念來討論類時類空性質。我們再次選取一組新座標

m、n

，滿足

-\text{d}\xi\text{d}\eta=-\text{d}n^2+\text{d}m^2\\ \longrightarrow m+n=\xi，m-n=-\eta

並且注意到史瓦西半徑

R_s=2GM

，採取幾何單位制令

G=1

。我們寫下完整的時空

\text{d}s^2=\frac{32M^3}{r}\text{e}^{-r/2M}(-\text{d}n^2+\text{d}m^2)+r^2(\sin^2\theta\text{d}\phi^2+\text{d}\theta^2)\\

至此

r=R_s

的奇異性被消滅，我們還保留了史瓦西時空全部的性質。這個時空叫做

Kruskal時空

，也稱作Kruskal延拓。由於

r=0

是一個真正的時空奇點，它沒有辦法被延拓，因此

Kruskal延拓是史瓦西時空的最大延拓

。

需要注意的是，在Kruskal時空中，基底是比較抽象的

m、n

，它們由原始座標

t、r

不斷變換而來，比如

r

要經歷超前變換，再和

t

一起變換到

u、v

，再變換到

\xi、\eta

，最後再變換到

m、n

。

所以開時空全地圖的代價就是找到的座標意義十分抽象

。

不過根據球對稱性，我們可以繪製Kruskal時空的前兩項的時空圖來分析整個靜態球對稱時空，其依據是基底滿足雙曲線方程

m^2-n^2=\text{e}^{(u-v)/2R_s}=\text{e}^{r

這裡出現了直觀的座標

r

。可以想到，在時間與徑向空間的時空圖中，

r=0

已經變成了一個雙曲線（超曲面）了，而不是史瓦西座標中的“點”。

[相對論] Kruskal最大延拓與蟲洞

Kruskal時空圖

時空圖中兩個陰影部分的邊緣，也就是兩個波浪線，是兩個奇點，它們都代表

r=0

。視界

r=R_s

是奇點的漸近線，將時空分為了I、I‘、II、II’ 四個區。也構成了一個“類光錐”，沿著

n

是類時的，沿著

m

是類空的。所以下面的是過去奇點，上面的是未來奇點。

在這個時空裡，史瓦西座標的那個

r

在

r>R_s

的區域是

r=C

的類空曲線，在

r<R_s

的區域是

r=C

的類時曲線。這完全符合我們在史瓦西時空作出的討論，即視界以外

t

類時

r

類空，視界以內

r

類時

t

類空。而我們新選取的座標

n

成為了全時空的類時軸，

m

成為了全時空的類空軸。

在史瓦西座標的

t

在其自身的座標系中是與

r

相垂直的，這個垂直性到了Kruskal時空自然會保留。所以史瓦西座標的

t

在這個時空裡就是垂直於

r=C

的曲線（超曲面）。可見，在

r<R_s

的區域裡，所有的時間曲線都“撞向”奇點。這也說明進入視界以後，所有的未來都是朝著奇點進行的，包括物體墜入奇點、資訊向奇點發送（不論一開始是朝什麼方法傳送）。

我們考察I區和II區，順著類時方向，這是一個進入黑洞的過程，正好是AEF座標的描述範圍。而考察II‘和I區，順著類時方向，這是一個跑出黑洞的過程，可以理解為進入黑洞的反演行為，也就是REF座標的描述範圍。可見，愛丁頓-芬克斯坦座標果然只是整個時空流形的一部分。

不過在時空圖中我們也碰到了一個從來沒有遇到過的區域--I'區

。從結構來看，I’是跟I區一樣，是一個位於視界之外的漸進平坦區域。這兩個漸進平坦區域有什麼聯絡嗎？

我們考察原點的情況，令

m=n=0

，帶入（★）得到

r=R_s

。這是什麼意思？也就是說原點並不是一個點，而是一個半徑為史瓦西半徑的超曲面，它居然是具有幾何結構的。也就是說，在兩個漸進平坦時空之間存在一個超曲面的“通道”來聯絡。這個通道稱為

愛因斯坦-羅森橋

（Einstein-Rosen Bridge），更通俗的叫法是

蟲洞

。

但需要注意的是，跨越蟲洞的行為是類空的，不能被這個時空的物理所允許。另外，跨越這個蟲洞將無限接近視界，所需要的時間無限大。

所以從多個方面來說，

這個蟲洞都是一個不可穿越的蟲洞

。至於可穿越蟲洞，可以上arXiv等平臺檢視最前沿的研究論文。