Asset Pricing, A Dirty View①

資產定價（Asset Pricing），一直是金融研究中的一大方向，也基本是最主要的方向。最初認識Asset Pricing，是從 Fama-French three factors model （FF3F）開始的……這回系統點的回顧一下。

1.事實

最初其實並不知道到底有什麼“因子”可以真的說明價格，先驅們透過效用函式來推導一個“理論上”的價格，然而當我們去驗證這些理論時，卻發現一個完全在理論上成立的公式和“事實”相差甚遠。比如說，當我們觀察

股票和債券的收益時，我們發現兩個差距很大。且在這個時間跨度內，人們的消費(consumption)和dividend的增長更多的是和債券的增長接近。

然而我們的結論並不是去買股票。我們還是要關注風險，因為股票的收益率波動性很大，相比與債券，並不是全部購買股票就能坐著數錢。比如說，如果在1930年，沒有退出股票市場，在未來的15年內，大概都不能全身而退；同樣的事實發生了在1973年和1999年。（如下圖）

我們當然要警惕波動率（

$\approx$

風險）：

股票和債券的Volatility

從下圖還可以發現一個問題，就是股票的收益率和消費增長率有比較不錯的相關性，似乎消費是驅動人們投資，或者更準確的來說，是收益率的因素。

股票和消費的Volatility

綜上，我們看出第一個“事實”就是：

很大的股權溢價（Equity Premium）

$\mathbb{E}(R_{stocks} - R_{bonds}) \approx 7\%$

；

很高的收益率波動率

$\sigma(R_{stocks} - R_{bonds}) \approx 18\%$

；

股票的收益率與消費增長率的相關性

$\rho = 0.5$

，但是消費增張的波動率卻只有股票波動率的

$\frac{1}{10}$

。

第二個事實，

我們關注於不同行業帶來的巨大收益差異

。不同行業的具有不同的平均收益率並不稀奇。然而我們重新將股票根據其他特徵分類，比如市值（size）和價值（value），

FF 25 portfolios中最高的收益是最低收益的3倍

第三個事實，與收益預測（Return Predictability）相關。這點在很多知乎大神的回答中說的都很詳細，簡單來說，

我們發現 #FormatImgID_16# 這個指標可以“預測”收益率

。比如我們可以觀察 Dividend-Price Ratio和 7年複合收益率：

進一步來說，我們可以發現：

$\frac{D_t}{P_t}$

可以“預測”收益率，然而

$\frac{P_t}{D_t}$

不能“預測” dividend growth（這裡的“預測”更多是在說有某種關係，不是拿今天預測明天）；

$\mathbb{E}_t[R_{t+1}]$

隨時間變化，且在經濟衰退時期更大。

2.資產定價的根本

資產定價的本質就是來為你持有的某個資產未來會帶來的現金流定價。

不難理解，最簡單的例子，比如說持有一個債券，假設未來的一個 payoff 為

，相對應的折現因子

，在

時期對應的“真實”價格

：

$p_t = \mathbb{E}_t[m_{t+1} x_{t+1}]$

。

（先把這個 #FormatImgID_27# 放到一邊）

拆解一下價格

，透過之前的定義，我們繼續拓展，這個 payoff

定義為當前價格與分紅（紅利，dividend）的和，即

$x_{t+1} = p_{t+1} + d_{t+1}$

，

而對應的收益率

$R_{t+1} = \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t}$

，將

$R_{t+1}$

代入前式，可以得到：

$1= \mathbb{E}_t[m_{t+1}R_{t+1}]$

。

由於我們在

時刻已知了所有資訊，且對於未來的收益率進行折現，根據無套利原則（Arbitrage Free），這個結果理論上就應該等於 1。再進一步來看，假設現在存在一個無風險利率

$R^{f}$

（Risk-free Rate）。那麼這個

$R^{f}$

“值”多少錢呢？

$1 = \mathbb{E}_t[m_{t+1} R^{f}] = \mathbb{E}_t[m_{t+1}] R^{f} \rightarrow R^{f} = \frac{1}{\mathbb{E}_t[m_{t+1}]}$

。

在研究中，我們感興趣的是超額收益（Excess Return）

，狹義的來講，我們更關注

，其中

分別代表某個資產和無風險資產的收益率。廣義來說，任意一個

，其中

分別代表資產

。我們僅考慮第一種情況，那麼這個

的價格應該是多少呢？沒錯，就是 0。

$\mathbb{E}_t[m_{t+1}R^e_{t+1}] = \mathbb{E}_t[m_{t+1}(R_{t+1} - R^f)] = \mathbb{E}_t[m_{t+1}R_{t+1}] - \mathbb{E}_t[m_{t+1}R^f] = 1 - 1 = 0$

。

到這裡，回想起了金融學的第一節課，

錢的時間價值

。如何來把這個時間價值表現出來呢？我們先不考慮條件期望模型同時把定價模型的中間項表達出來：

$p=\mathbb{E}[mx] = \mathbb{E}(m)\mathbb{E}(x) + cov(m,x)$

，我們暫且讓

來充當這個折現因子：

$p = \underbrace{\frac{\mathbb{E}(x)}{R^f}}_{時間價值補償} + \underbrace{cov(m,x)}_{風險補償}$

，

我們就將資產價格分為了時間價值——單純持有資產的時間價值補償，和風險價值——持有期間所有面臨的風險補償。所以，

驅動風險的並不是波動率的方差，而是折現因子和payoff間的協方差。

將上邊的公式套用在對

的定價中：

$\begin{align} 0 &= \mathbb{E}(mR^e) = \frac{\mathbb{E}(R^e)}{R^f} + cov(m,R^e)\\ \mathbb{E}(R^e) &= - R^f cov(m,R^e)\\ \mathbb{E}(R) &= R^f - R^f cov(m,R^e) \end{align}$

，這三個公式更加驗證了上邊的理論。

3. Return-Beta Representation (

$p=\mathbb{E}(mx) \Leftrightarrow \mathbb{E}(R^i) = \gamma + \beta_{i,m} \cdot \lambda_m$

)

CAPM 公式中的的

$\beta$

是怎麼來的呢？也是由最基本的

$p=\mathbb{E}(mx)$

得來，只需要一些簡單的變形：

$\begin{align} 1 = \mathbb{E}(mR^i) &= \mathbb{E}(m)\mathbb{E}(R^i) + cov(mR^i)\\ \mathbb{E}(R^i)&= \frac{1}{\mathbb{E}(m)} - \frac{cov(m,R^i)}{\mathbb{E}(m)}\\ \mathbb{E}(R^i) &= \gamma + (\frac{cov(m,R^i)}{var(m)})(-\frac{var(m)}{\mathbb{E}(m)}) = \gamma + \beta_{i,m} \cdot \lambda_m \end{align}$