一。前記

本人matlab萌新，在學習數學

建模

的時候特意寫下一點東西以供回頭複習，也可以給xdm一些介紹和鞏固。本次較為簡單，就來講講

線性規劃

問題的一些matlab寫法。

二。MATLAB中的求解函式

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x

是決策向量，一個包含n個自變數的向量，即

[x_1,x_2,..,x_n]

；

fval是最後的最值（應該只可以計算最小值，如果是求最大值就要取相反數轉為求最小值）

linprog是函式名

f是

價值向量

，是下面第一個公式裡的

c

組成的1×n型向量，

A是所有不等式組的

係數矩陣

；

b是不等式後面的值；

Aeq是恆等式前的係數矩陣，beq是恆等式右側的值

lb，ub分別表示決策向量的下、上限，即對自變數自身的限制條件。

看著抽象，到時候看具體例題吧。

三。題型和解法

在求解現實問題中，如果可以用線性規劃模型解決，必定會產生一下基本形式：

max

z=\sum_{j=1}^{n}{c_{j}x_{j}},

A*x\leq b,

\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_j}=b_i,i=1,2,...,m,

x_j\geq0,j=1,2,...,n.

第一行是題目所求的一個最值，第二、三行是一些限定條件，第四行是關於x本身的一些條件。

如果上面的

標準型公式

有些抽象的話，具體的例子（見下）就能讓大家理解了。在如解決工廠怎麼生產可以利潤最大化等等問題的時候，往往最後會得到上述這樣的

方程組

，那麼如果手算覺得麻煩，不妨採用MATLAB來計算吧！

但是要注意，MATLAB這個語言和人不一樣，要讓MATLAB理解這幾行算式，需要要對它們變形，下面來看看具體過程：

1）對max z 或者min z的變形。MATLAB需要把方程組變成矩陣形式，且要注意MATLAB的對應公式是

不計算max

的，所以要把max換成min。求一個式子的最大值，就是求這個式子取負的最小值。於是第一行max所求轉化為：

min

-c^Tx

， 這裡的c是係數的1×n型矩陣，這個是

線性代數

表達；

2）相似地，把後面的一系列方程化成係數矩陣乘自變數矩陣的形式，這裡也要注意，對應公式不計算

\geq

，所以對於≥部分也應取負：

-Ax\leq-b

， 這個式子只對原來是≥的取負，其他的就不需要了；

ok，現在我們對例題進行求解

例1。求解以下線性規劃問題：

max

z=2x_1+3x_2-5x_3,

x_1+x_2+x_3=7,

2x_1-5x_2+x_3\geq10,

x_1+3x_2+x_3\leq12,

x_1,x_2,x_3\geq0.

解：先化方程為MATLAB看得懂的形式：

min

w=-2x_1-x_2+5x_3,

x_1+x_2+x_3=7,

-2x_1+5x_2-x_3\leq-10,

x_1+3x_2+x_3\leq12,

x_1,x_2,x_3\geq0.

現在使用

linprog函式

：

f=［-2 -1 5］；

A=［-2 5 -1； 1 3 1］； 這裡只有兩個不等式，矩陣裡的分號是換行；

b = ［-10 12］；

Aeq=［1 1 1］，beq=7； 這裡恆等式只有一個，beq不需要變成矩陣啦；

lb=［0 0 0］=zeros（3，1）， 這裡僅有下限。

好啦現在可以寫這個函數了：

>>

f

=

［

-

2

-

3

5

］；

>>

A

=

［

-

2

5

-

1

；

1

3

1

］；

>>

b

=

［

-

10

；

12

］；

>>

Aeq

=

［

1

，

1

，

1

］；

beq

=

7

；

>>

［

x

，

y

］=

linprog

（

f

，

a

，

b

，

aeq

，

beq

，

zeros

（

3

，

1

））；

>>

x

，

y

=

-

y

%這裡要注意，之前求的是-y的最小值，現在取相反數回到原來的值；

然後得到x，y的解：

x =

6。4286

0。5714

0。0000

y =

14。5714

是不是很容易哈哈哈（尬）

特別地，對於求

max

z=a_1\left| x_1 \right|+...+a_n\left| x_n \right|,

而條件仍然是

Ax\geq b

型，

依然可以使用這種方法，具體過程是：

取

u_i=\frac{x_i+\left| x_i \right|}{2}

，

v_i=\frac{\left| x_i \right|-x_i}{2}

，那麼

x_i=u_i-v_i

；

\left| x_i\right|=u_i+v_i

；

於是上面的式子化為：

max

z=\sum_{i=1}^{n}{u_i+v_i},

A(u,v)\leq b, \Rightarrow[A,-A]\cdot[u

v]^T\leq b

， 這裡的A，u，v，b已經是向量了

u,v\geq0

按照上面的普通解法就可以做了。

線性規劃的解法雖然簡單但是在很多時候都可以用到，值得使用。