連續函式在（-a，a）上的定積分為0，能推出函式為奇函式嗎?Albert Wang2021-08-03 18:53:57

當然不能，但由奇函式且在積分割槽間收斂可積可以推出在對稱區間定積分為零。

連續函式在（-a，a）上的定積分為0，能推出函式為奇函式嗎?知乎使用者2021-08-05 08:59:10

如果對於某個a，比如π，成立“連續函式在（-a，a）上的定積分為0”是不能推出函式為奇函式的。

比較接近的結論是：“

對於任意a

，連續函式在 （-a，a） 上的定積分為0”當且僅當函式為奇函式。

連續函式在（-a，a）上的定積分為0，能推出函式為奇函式嗎?芷雨Chira2021-08-05 09:44:20

不可以，請考慮如下函式：

f（x）=|x|-1，x∈［-2，2］

連續函式在（-a，a）上的定積分為0，能推出函式為奇函式嗎?lim簾妹趨於02021-08-23 22:08:49

顯然不能。

但凡考察一下定積分的幾何意義都不難想象到反例

連續函式在（-a，a）上的定積分為0，能推出函式為奇函式嗎?予一人2021-08-23 23:23:21

可以證明

連續函式

f(x)

滿足

\int_{-x}^xf(t){\rm d}t =0

對

任意

x

成立，當且僅當

f(x)

是奇函式。

充分性是顯然的。至於必要性，由

\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{-x}^xf(t){\rm d}t=0

得

f(x)+f(-x)=0.

即證。