極小曲面背景下結合Jacobi矩陣直觀探究座標變換、投影、旋度、散度

碼公式不易，希望能對大家理解這方面的問題有所幫助。

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一、極小曲面

二維空間中的曲線，我們可以對進行微元。例如

y=x^2

，為了研究

y

在

x

的極小變化時，我們證明了，

dy=2xdx

。更普適一點，我們證明了對

y=f(x)

，在某一點可導的情況下，我們證明了

dy=f

。 以此類推，我們不難推想，對於一個曲面，其微元具有什麼樣的性質呢？我們可以假設，在直角座標系三維空間當中，存在一個連續的函式值函式

u(x,y)

， 因其連續性，我們不難想象出，其為一個曲面。例如

u(x,y)=x^2+y^2

其影象如下所示

如何直觀理解投影，散度，旋度，座標變換？

u(x,y)=x^2+y^2的影象 \\

我們再來聯想一下：我們在討論二維空間當中曲線的時候，是不是證明過，在極小的微元時，我們可以近似地化曲為直，例如我們利用泰勒公式應該有

f(x)=f(x_0)+\frac{f

當

x

非常接近於

x_0

時，我們認為，由於後面的項均為

(x-x_0)

的高階無窮小，所以我們就可以寫成將方程改寫

\lim\limits_{x\to x_0} f(x)-f(x_0)=f

這也是化曲為直的潛在思想。

dy=f

我們不禁會想，既然曲線可以這樣處理，那麼是不是說曲面也可以這樣處理呢？

事實上在數學分析中我們已經證明過對於

f(x,y)

du=f_xdx+f_ydy\tag{1.4}

可見，極小曲面下，值的增長，也滿足這樣的線性關係。

二、Jacobi矩陣

透過學習，我們知道，除了函式值函式，還有向量值函式，這個不難理解，結合我們所知的物理知識，例如，波，電場，磁場，力等其實都屬於向量值函式。

我們記一個向量值函式為為

(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))

現在我們對向量值函式的每一個分量分別進行微分

df=f_xdx+f_ydy+f_zdz\ \\

dg=g_xdx+g_ydy+g_zdz\tag{2.1}

dh=h_xdx+h_ydy+h_zdz \\

學過高等代數的我們都知道，對於這樣的形式，我們可以用矩陣的方式表達。

\left[ \begin{matrix} f(x,y,z)\\g(x,y,z)\\h(x,y,z) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} f_x&f_y&f_z\\ g_x&g_y&g_z\\ h_x&h_y&h_z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} dx\\dy\\dz \end{matrix} \right] \tag{2.2}

中間的方陣正是一個雅可比矩陣，實際上雅可比矩陣可以寫成更一般的形式，這裡就不做贅述。

三、面積投影和座標變換

下面我們利用

Jacobi

矩陣來研究一下其對積分的作用。

首先，在一個面積分當中，我們實際上相當於，對無窮小的面元（近似為平行四邊形）和其高（即函式值）求體積之和。

其次我們知道，同樣一個曲面在不同的座標系下會有不同的表達形式。如果我們要沿著這個曲面進行一個二重積分，在兩個座標系下也會有不同的積分形式，其結果也會不同。

\iint f(u,v)dudv\tag{3.1}

\iint f(u(x,y),v(x,y))dxdy\tag{3.2}

那麼如果我們知道了

u(x,y),v(x,y)

即

u,v 與x,y

之間的關係是不是就能夠進行任意的座標變換而獲得更好的積分形式呢？

確實如此。對於任意一點

(x_0,y_0)

，我們存在

(u_0,v_0)

與之對應，這時有

f(u_0,v_0)=f(u(x_0,y_0),v(x_0,y_0))

。那麼我們只要考慮其面元的比例即可確定其最終積分結果的比例。

極小曲面被近似為一個平行四邊形，故面元的面積可以用

|d\vec{x}\times d\vec{y}|

和

|d\vec{u} \times d\vec{v}|

表示。

透過前面的分析我們又知道在極小曲面下我們滿足線性關係

d\vec{u}=(u_xdx,u_ydy), d\vec{v}=(v_xdx,v_ydy)

，故：

d\vec{u} \times d\vec{v}=(u_xdx,u_ydy,0) \times (v_xdx,v_ydy,0)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_xdx & u_ydy & 0\\ v_xdx & v_ydy & 0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} u_xdx & u_ydy\\ v_xdx & v_ydy \end{vmatrix} \vec{k} \\ =\begin{vmatrix} u_xdx & u_ydy\\ v_xdx & v_ydy \end{vmatrix} \frac{d\vec{x} \times d\vec{y}}{dxdy} =\begin{vmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{vmatrix}dxdy \frac{d\vec{x} \times d\vec{y}}{dxdy}=\begin{vmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{vmatrix}\vec{dx}\times\vec{dy} \tag{3.3}

其實在此步，我們也可以利用

d\vec{u}=(u_xdx,v_xdx), d\vec{v}=(u_ydy,v_ydy)

，所得到的結果應該是一樣的。

因此我們可以看到，面積元是有比值大小的，剛好是

u,v

關於

x，y

偏導數所組成向量的叉乘。而這也剛好是

Jacobi

行列式的值。

事實上，在書中我們已經證明，對於同元數的替換，其所得

jacobi

方陣的行列式，就是面積元之間的比例係數。

有了這樣的基礎，我們來考慮這樣一個問題：

\iint_D f(x,y)dx\wedge dy

，

D

是

z=x^2+y^2,z<=1

。

我們很容易發現

D

是一個不好處理的曲面，但是它在

xOy

上的投影確實極易確定且方便求解的。 即

D_{xy} \{x^2+y^2=1,z=0\}

。

對於

D

這樣一個曲面，我們知道它可以透過u，v來表示

令

d\vec{u}=(dx,0,\frac{\partial{z}}{\partial{x}}{}dx)

，

d\vec{v}=(0,dy,\frac{\partial{z}}{\partial{y}}dy)

所以我們利用上面的座標變換，其面積元大小為

\left |\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial{x}}{\partial{x}}dx & 0dx &\frac{\partial{z}}{\partial{x}}dx \\ 0dy & \frac{\partial{y}}{\partial{y}}dy & \frac{\partial{z}}{\partial{y}}dy \end{vmatrix} \right | =|(-\frac{\partial{z}}{\partial{x}}dxdy,-\frac{\partial{z}}{\partial{y}}dxdy,dxdy)| =\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\tag{3.4}

四、旋度、散度

在書中，我們還介紹了場的概念，介紹了散度，旋度等概念，但書中涉及的散度、旋度僅限制於三維空間，下面，我將把二維

Jacobi

矩陣做分解，定義二維曲面中的散度和旋度。

我們知道，二維空間的向量場應有

(u(x,y),v(x,y))

，其中：

du(x,y)=u_xdx+u_ydy \\dv(x,y)=v_xdx+v_ydy \tag{4.1}

將其寫成

Jacobi

矩陣的形式。

\left[ \begin{matrix} du\\dv \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} u_x&u_y\\ v_x&v_y\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} dx\\dy \end{matrix} \right] \tag{4.2}

\left[ \begin{matrix} u_x&u_y\\ v_x&v_y\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0&\frac{1}{2}u_y-\frac{1}{2}v_x\\ \frac{1}{2}v_x-\frac{1}{2}u_y&0\\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}(u_x+v_y)&0\\ 0&\frac{1}{2}(u_x+v_y)\\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}(u_x-v_y)&\frac{1}{2}(u_y+v_x)\\ \frac{1}{2}(u_y+v_x)&\frac{1}{2}(v_y-u_x)\\ \end{matrix} \right] \tag{4.3}

這樣我們將原向量場分解成了三個向量場

(\frac{1}{2}(v_x-u_y)dy,\frac{1}{2}(v_x-u_y)dx)\tag{1}

(\frac{1}{2}(u_x+v_y)dx,\frac{1}{2}(u_x+v_y)dy)\tag{2}

\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}(u_x-v_y)&\frac{1}{2}(u_y+v_x)\\ \frac{1}{2}(u_y+v_x)&\frac{1}{2}(v_y-u_x)\\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} dx\\dy \end{matrix} \right] \tag{3}

首先我們來討論

(1)

式的含義。

我們考慮一根在平面中繞軸旋轉的剛體，其末端的速度設為

(u,v)

，且做圓周運動，其座標為

(x,y)

。

因為其做圓周運動，所以沿軸方向速度為零，透過極座標的轉化我們有

u=\frac{1}{2}(u_y-v_x)y \\ v=\frac{1}{2}(u_y-v_x)x \\

這不正與

(1)

式的結果相符嗎？

(0,0,\frac{1}{2}(v_x-u_y))\times (x,y,0)=(u,v,0)\tag{4.4}

這也就證明了平面中剛體圓周運動有：

\vec{\omega} \times \vec{r}=\vec{v} \\ \vec{\omega}=(0,0,\frac{1}{2}(v_x-u_y))=\frac{1}{2}\nabla\times\vec{v} \tag{4.5}

接著再看

(2)

當

(1),(3)

式項均為零，我們有

du=\frac{1}{2}(u_x+v_y)dx=\rho dx \\ dv=\frac{1}{2}(u_x+v_y)dy=\rho dy \\

故

(u,v)=\rho(x,y) \\ \rho=\frac{1}{2}(u_x+v_y)\tag{4.6}

所以我們可以看出

(u,v)

的向量場實際上就是在一張平面上進行大小的放縮。

如圖所示

如何直觀理解投影，散度，旋度，座標變換？

最後再看

(3)

式

我們發現中間矩陣可以寫成

\left[ \begin{matrix} \vec{\alpha} &\vec{\beta} \end{matrix} \right] \\

我們不難看出

|\vec{\alpha}|=|\vec{\beta}|=k \\ \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=0 \tag{4.7}

所以矩陣

\frac{1}{k}\left[ \begin{matrix} \vec{\alpha} &\vec{\beta} \end{matrix} \right] \\

是一個正交矩陣。

二階的正交矩陣只有兩種形式：旋轉變換和映象變換。

\left[ \begin{matrix} \cos{\theta}&-\sin\theta\\ \sin \theta&\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \tag{4}

\left[ \begin{matrix} \cos{\theta}&\sin\theta\\ \sin \theta&-\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \tag{5}

結合

(3)

式我們看到正可以寫成下列形式

k\left[ \begin{matrix} \cos{\theta}&\sin\theta\\ \sin \theta&-\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \tag{4.8}

正是對其不斷地進行鏡面反射與伸縮，可以理解為沿著變化的方向以變化的速率進行拉伸。

我們可以做一個小總結，我們將向量值函式的

Jacobi

矩陣進行分解，將其變化分解為：

旋轉、放縮、變形

三種不同的效果。

應當指出的是，不只是二維，實際上對於三維甚至更高維的向量值函式我們也可以對其

Jacobi

矩陣進行類似的分解。