在這樣一個正經專欄《面向高中畢業生的數學介紹》中出現這樣一個詭異名字的文章，大家會不會覺得有些詫異呢。

好吧我起這個名字就是故意的。

數學中確實存在基

我們今天要講的基，不是Newton與Leibniz，也不是Abel與Galois

而是

濾子基

（Filter base），簡稱

基

（base）。

引入基的想法很樸實，在數學家們處理函式極限的過程中，產生了許多定理。由於函式極限可以是

\lim_{x \rightarrow x_0}

、

\lim_{x \rightarrow +\infty}

、

\lim_{x \rightarrow -\infty}

、

\lim_{x \rightarrow \infty}

這四種情形，但在許多定理中，這四種情形都適用，數學家就不得不把同一個定理寫四遍，或者在每條定理的後面寫一句“在極限趨於無窮時亦然。”這無形之中就給數學家增添了許多不必要的麻煩。

為了解決這個問題，數學家就想搞一個記號，能代替所有的極限情形。這不搞不要緊，一搞啊，就弄了個基出來。

濾子基：

由集合X的某些子集

B \subset X

組成的集族

\bf { B}

稱為集合X的基，如果它滿足以下兩個條件：

1。

\forall B \in {\bf B} ,B \neq \emptyset

2。

\forall B_1 \in {\bf B},\forall B_2 \in {\bf B},\exists B \in {\bf B},s.t.B \subset B_1 \cap B_2

基上的極限：

設

X \rightarrow R

的函式

y=f(x)

，

\bf B

是X上的一個基。如果對於點

a \in R

的任何鄰域

N(a)

，存在基

\bf B

的元素

B \in \bf B

，使

B

的像

f(B)

包含在

N(a)

中，就說

a

是函式

y=f(x)

關於基

\bf B

的極限。記作

\lim_{\bf B}f(x)=a

。

四種R上的極限的基：

x \rightarrow x_0

：

{\bf B}=\{B|B=\{x|0<|x-x_0|<\delta\},\delta \in R^+\}

x \rightarrow +\infty

：

{\bf B}=\{B|B=\{x|x>M\},M\in R \}

x \rightarrow - \infty

：

{\bf B}=\{B|B=\{x|x<M\},M\in R \}

x \rightarrow \infty

：

{\bf B}=\{B|B=\{x||x|>M\},M\in R \}

哇，不是想簡化我們的敘述嘛，怎麼又搞出了這麼個勞什子出來！

本寶寶當初看了快一個禮拜才看懂這是個什麼……

寶寶心裡苦，但寶寶不說。

用通俗的語言來講，基呢，是這麼個東西：

首先，它是集族——集合的集合，也就是說，它的元素是一些集合。其次，它的元素中沒有空集。接著，它的任意兩個元素之交也含有這個集族中的元素。由於空集不屬於這個集族，所以綜合二三兩點，得出該集族的任意兩個元素的交集非空。這麼曲折的定義是為了後面講基上的極限。

為了說明基上的極限，我們不妨拿自變數趨於常數的極限來作例子。

基——一個簡化書寫的方式

基——一個簡化書寫的方式

這是函式

f(x)=\sqrt[3]{x}

的影象。我想以此來說明基上極限的定義。我取一個點，比如說

(2,\sqrt[3]{2})

。取

{\bf B}=\{B|B=\{x|0<|x-2|<\delta\},\delta \in R^+\}

為基，那為什麼

\lim_{\bf B}f(x)=\sqrt[3]2

呢？

為了說明這個，我們需要闡釋兩點：

1。

\sqrt[3]2

確實是這個基上的極限

2。不是

\sqrt[3]2

的數都不是這個基上的極限

第一點：

基——一個簡化書寫的方式

基——一個簡化書寫的方式

按照我們對基上極限的定義，我們對這個點的任意鄰域進行圖上的操作。那個藍框框對應的x軸部分就是我們可以從基

\bf B

中取的那個元素。

第二點：

基——一個簡化書寫的方式

基——一個簡化書寫的方式

對於不是

\sqrt[3]2

的數，不妨是比它大一點點的一個數，那麼我們就像圖中一樣，先做一條黃色的線，黃色線以下的部分取藍框框，那麼藍框框對應的x軸部分是我們取的基

\bf B

中，像不在其鄰域裡的元素

透過以上兩點的分析，我們確實得出了這個基的極限的意義。

事實上，這也是一個普適性的定義，不依賴於實數集。對於更高層次的函式極限，我們之前講的已經不再適用，但這個卻始終可以作為函式極限的定義。

對於我們初學者來說，我認為對於基的定義，我們瞭解即可，它是為了更高層次做準備的。我們需要掌握的，是四種極限的對應的基，和基上極限的定義。那麼，究竟為什麼把基定義成集合的集合呢？從某種意義上，根據我們前面對基的極限的闡釋，可以發現我們一直在找一些

x_0

的鄰域，但我們找的鄰域可能多種多樣，把所有這樣的鄰域放在同一個集合裡，那麼就是一件很順理成章的事。

那麼為什麼用基，就可以把四種極限簡化成一種呢？實際上，這用了一個障眼法。它只不過對四種極限定義了各自的基，用同樣的記號表示出來而已。但是這樣寫，確實更加科學，也更加簡潔。