微信：baidukaoyan

公眾號：擺渡考研工作室

科 目：數學

知識點：帶有三角函式不定積分求解

公眾號：擺渡考研工作室

擺渡提供最優質的的課程與資料，提供經濟學與數學同步輔導

1. 恆等變形法

由於三角函式有許多特有的性質，如各種三角函式之間有一些公式相互聯絡，三角函式的導數仍是三角函式等。

這使得三角函式有理式的積分可透過三角函式的恆等變形，將其化為分項積分求出。這類積分常見的有如下幾種型別

（1）形如：（公式可左右移動）

\begin{aligned} &\int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x ; \int \sin ^{m} x \sin ^{n} x d x ; \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x \\ &\int \tan ^{m} x \sec ^{n} x d x, \int \cot ^{m} x \csc ^{n} x d x, \int \sin m x \cos n x d x \end{aligned} \\

的積分，其中

m

及

n

是正整數數或者是零，一般透過適當的三角恆等式及有關的三角函式的微分公式就能把這些積分求出

例：求:

\int \sin ^{4} x \cos ^{5} x d x \\

解：原式

=\int \sin ^{4} x \cos ^{4} x \cos x d x=\int \sin ^{4} x\left(1-\sin ^{2} x\right)^{2} d \sin x \\

=\int\left(\sin ^{4} x-2 \sin ^{6} x+\sin ^{8} x\right) d \sin x \\

=\sin ^{5} x / 5-2 \sin ^{7} x / 7+\sin ^{9} x / 9+C \\

被積函式為

\sin x, \cos x

的冪函式的乘積，且方冪至少有一個為奇數時，總是在奇次冪中提岀一個一次式與

dx

湊微分

(II)

形如

\int \frac{d x}{\sin ^{m} x \cos ^{n} x}(m, n

為正整數

)

的積分，多次使用

1=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x, 或 1=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2} \\

進 行恆等變形，將其化為分項積分求之

例:求不定積分

\int \frac{d x}{\sin x \cos x} \\

解法

1:

原式

=\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin x \cos x} d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x+\int \frac{\cos x}{\sin x} d x \\

=-\ln |\cos x|+\ln |\sin x|+C=\ln |\tan x|+C \\

解法 2：原式

=\int \frac{2 d x}{\sin 2 x}=\int \csc 2 x d 2 x=\ln |\csc 2 x-\cot 2 x|+C \\

=\ln |\tan (2 x / 2)|+C=\ln |\tan x|+C \\

(III)

形如（可左右滑動）

\begin{gathered} \int \frac{d x}{\sin (x+a) \cos (x+b)} ; \int \frac{d x}{\sin (x+a) \sin (x+b)} \\ \int \frac{d x}{\cos (x+a) \cos (x+b)}, \int \frac{d x}{\sin x \pm \sin a}, \int \frac{d x}{\cos x \pm \cos a}(a \neq b) \end{gathered} \\

的積分，可利用三角函式公式恆等變形，將其化為分項積分求之

例：求

\text { (1) } \int \frac{d x}{\sin (x+a) \cos (x+b)}, \text { 其中 } a \neq b, \cos (a-b) \neq 0 \\

(2) \int \frac{d x}{\sin x-\sin a}(\cos a \neq 0) \\

解：（1）因為

\cos (a-b)=\cos [(x+a)-(x+b)]= \\

\cos (x+a) \cos (x+b)+\sin (x+a) \sin (x+b) \\

得到

\text { 原式 }=\frac{1}{\cos (a-b)} \int \frac{\cos (x+b) \cos (x+a)+\sin (x+a) \sin (x+b)}{\sin (x+a) \cos (x+b)} d x \\

=\frac{1}{\cos (a-b)}\left[\int \frac{d \sin (x+a)}{\sin (x+a)}-\int \frac{d \cos (x+b)}{\cos (x+b)}\right] \\

=\frac{1}{\cos (a-b)} \ln \left|\frac{\sin (x+a)}{\cos (x+b)}\right|+C \\

（2）利用（1）的結果，即得

\text { 原式 }=\int \frac{d(x / 2)}{\sin [(x-a) / 2] \cos [(x+a) / 2]} \\

=\frac{1}{\cos (-a / 2-a / 2)} \ln \left|\frac{\sin [(x-a) / 2]}{\cos [(x+a) / 2]}\right|+C \\

=\frac{1}{\cos a} \ln \left|\frac{\sin [(x-a) / 2]}{\cos [(x+a) / 2]}\right|+C \\

(I V)

對於積分

\int \frac{a_{1} \sin x+b_{1} \cos x}{\operatorname{asin} x+b \cos x} d x \\

（被積函式的分子、分母均是

\sin x, \cos x

的線性函式），因

(\sin x)^{\prime}=\cos x,(\cos x)^{\prime}=-\sin x \\

故可將分 子分解成分母及分母的導數的線性組合。

因而設

a_{1} \sin x+b_{1} \cos x=A(\operatorname{asin} x+b \cos x)+B(a \sin x+b \cos x)^{\prime} \\

比較兩邊

\sin x, \cos x

的係數，確定

A

與

B

，從而可求山所求秉分

例:求

\int \frac{3 \sin x+2 \cos x}{2 \sin x+3 \cos x} d x \\

解：設

3 \sin x+2 \cos x=A(2 \sin x+3 \cos x)+B(2 \sin x+3 \cos x)^{\prime} \\

=A(2 \sin x+3 \cos x)+B(2 \cos x-3 \sin x) \\

比較上式兩端

\sin x

與

\cos x

的係數，得到

\left\{\begin{array} { l } { 2 A - 3 B = 3 } \\ { 3 A + 2 B = 2 } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=12 / 13 \\ B=-5 / 13 \end{array}\right.\right. \\

所以

\text { 原式 }=\int \frac{(12 / 13)(2 \sin x+3 \cos x)-(5 / 13)(2 \sin x+3 \cos x)^{\prime}}{2 \sin x+3 \cos x} \\

=\frac{12 x}{13}-\frac{5 \ln |2 \sin x+3 \cos x|}{13}+C \\

2. 裂項法

有些三角有理分式函式，其分母由兩個或多個因子所組成，有時可用裂項法將被積函式拆分兩（多）項的代數和，從而求出其積分。

例：求：

\int \frac{d x}{(2+\cos x) \sin x} \\

解：根據分母兩因子分別含cos

x, \sin x

的特點，利用

\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1

可巧妙地拆分為

\frac{1}{(2+\cos x) \sin x}=-\frac{1}{3}\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}-\frac{2-\cos x}{\sin x}\right) \\

所以

\text { 原式 }=-\frac{1}{3}\left[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} d x-2 \int \frac{d x}{\sin x}+\int \frac{\cos x}{\sin x} d x\right] \\

=[\ln (2+\cos x)+2 \ln |\csc x-\cot x|-\ln |\sin x|] / 3+C \\

往期知識點-數學概念篇

列1

1。對映

4。函式極限性質

7。極限存在準則

10。微分中值定理

13。曲率

16。分佈積分法

19。無界函式審斂法

22。平面方程

25。空間曲線投影

28。向量函式求導

31。梯度

34。含參積分

37。收斂級數性質

40。矩陣與方程組

43。相似與二次型

46。樣本均值|方差

列2

2。函式特性

5。連續性與間斷點

8。高階導|萊布尼茨

11。洛必達法則

14。不定積分理解

17。不定積分技巧

20。微分方程基礎

23。空間曲線

26。多元複合函式

29。曲線法平面

32。拉格朗日

35。格林公式I

38。級數審斂法

41。線性相關

44。機率運算|概型

列3

3。數列收斂

6。最值|介值|零點

9。引數與隱函式

12。泰勒公式

15。換元積分法

18。反常積分審斂法

21。微分方程進階

24。旋轉曲面

27。隱函式定理

30。方向導數

33。二重積分技巧

36。格林公式推論

39。冪級數審斂法

42。正交與特徵值

45。貝葉斯公式

往期知識點-數學技巧篇

列1

1。定義域求解

4。數列極限技巧

7。中值不等式

10。洛必達法則

13。分部積分法

列2

2。函式求解技巧

5。高階導數求解

8。區間不等式

11。方程根的個數

列3

3。夾逼定理

6。中值等式命題

9。數值不等式

12湊微分求積分