首先要說明的是Landau費米液體理論（LFLT）可以認為是以往對量子多體理論研究的基石之一，（還有其它理論：Hartree-Fock近似、線形響應理論等等），LFLT認為對於具有相互作用的金屬系統，其與自由的費米子系統相類似。LFLT幾乎可以描述我們目前已知的所有金屬，並且對於許多的非金屬態（SC、AF）可以用於描述一些實驗上的現象，有說法認為這些非金屬態是LFLT的某些不穩定結構。此外，對於普通的金屬而言，電子之間的Coulomb相互作用可以和費米能

E_F

相比擬，比費米麵附近的能級間距要大很多，也就是說對於這樣的強相互作用系統，微擾理論已經失效。那麼從這一點看就很難讓人相信，對於這樣一個具有強相互作用的系統居然與一個無相互作用的系統（Fermi gas）有相似的性質。這其實是因為我們可以對無相互作用系統逐步加入相互作用，讓其絕熱地（Adiabatically）過渡到有相互作用的準粒子物理影象中去。當然並不是所有的相互作用的系統都可以由無相互作用的系統絕熱演化而來（例如：Luttinger liquid，其需要藉助於玻色化（Bosonization）的方法來處理，這裡將不贅述）。

LFLT成立的必要條件是具有良好定義的準粒子影象，理論上可以透過計算單粒子的譜權重

Z_{\mathbf{k}}

是否為零進行判斷。實驗上最直接的是譜學方法測量譜函式，比如利用ARPES可以直接觀察單電子譜函式中有無良好定義的準粒子峰。另外輸運性質的實驗，可以檢測低溫下的費米液體行為，比如電阻率正比於溫度的平方

\rho \propto T^2

，比熱正比於溫度

C_v \propto T

，自旋磁化率滿足Pauli順磁性，即

\chi =\mathrm{constant}

等。

我們解決單粒子問題時候，我們關心的是粒子處於什麼狀態。但是處理多體系統的時候，研究每個粒子處於什麼態會變得十分複雜，因而需要利用統計的思想，考察每個態上有多少個粒子。用每個態的佔據數標記量子多體態。這一思想對於從費米氣體演化到費米液體非常重要。

我們先引入一個LFLT的基本假設：

*

低能本徵態（包括基態和低能激發態）由一組量子數

n_{\mathbf{k},\sigma}=0,1

來標記，稱之為“佔據數”。

對於費米氣體（FG），

T=0K

時，粒子將從

\mathbf{k}=0

開始在Pauli 不相容原理的約束下依次填滿至費米麵，每個電子的狀態用

\left(\mathbf{k},\sigma \right)

這樣一組量子數來標記，多粒子體系的狀態用每個狀態粒子的平均佔據數

n_{\mathbf{k}}

描述。FG在零溫下的基態就是電子填滿費米麵以下的態空間，低能激發對應一個電子從費米球內激發到球外。由於FG的粒子之間沒有相互作用。這種激發態是系統的嚴格的本徵態，所以粒子在費米球內被激發到球外以後，如果沒有外界的干擾將永遠處於這個態，對應粒子壽命為無限長。因而由譜權重定義：

Z_{\mathbf{k}} ={\left|\left\langle \psi_G^{1-\mathrm{hole}} |c_{\mathbf{k}} |\psi_G^{0-\mathrm{hole}} \right\rangle \right|}^2

可以得到，對於FL而言

Z_{\mathbf{k}}=1

，對應為費米麵附近態密度的突變。

費米液體（FL）考慮了體系中粒子之間的相互作用。Landau 的又一個基本假設是：

*

FL的基態和低激發態可以FG的方式構成。對應的粒子並非組成體系的粒子，而是準粒子。

從FG 到FL ，可以看做相互作用是絕熱演化過去的（過程不發生相變）。在粒子標記為準粒子的過程中，對應的動量，自旋和電荷是不變的，即準粒子的狀態仍然可以和FG 一樣標記，電荷不變決定了電子的數目等於準粒子的數目。這樣基本的物理影象為：FL的基態相當於準粒子填滿的費米球，當一個準粒子從佔滿的費米球內躍遷到球外時即對應元激發。從FG的基態透過這種絕熱過程演化到FL的基態，這個前提是我們假設Fermi球外是空佔據的。若在FG 的基態Fermi 球外放入一個粒子再開始絕熱過程時，準粒子具有一定壽命，所以嚴格來說只有Fermi面上的準粒子（具有無限長的壽命）才具有良好的定義。如果壽命很短，根據不確定關係，能量的不確定度就會很大，研究其的物理意義也不大。對於FL而言，

|c_{\mathbf{k}} |\psi_G^{0-\mathrm{hole}} \rangle

不是單空穴的基態，所以對於定義的譜權重

0<Z_{\mathbf{k}}<1

。

由於準粒子之間的相互作用非常弱，可視為無相互作用的準粒子氣體。但是它們的能量並不能像FG和FL一樣一一對應的，因為FG由於沒有相互作用，系統的總能量可以看作是單個粒子能量之和。而FL 中由於準粒子間相互作用的出現，系統的總能量不再是單個粒子能量之和。準粒子之間的相互作用可用平均場思想來處理，每個準粒子的能量與周圍其他準粒子的狀態分佈有關，體系的能量是分佈函式的泛函，即：

\delta E=2\int \varepsilon \left(p\right)\delta n\left(p\right)\frac{V}{{\left(2\pi \hbar \right)}^3 }d^3 p

可以得到：

\varepsilon \left(p\right)=\frac{\delta E}{\delta n\left(p\right)}

，說明準粒子的能量也是分佈函式的泛函。

設體系基態的粒子分佈為

n_{p\sigma }^0

，低溫下分佈相對於基態分佈有一個小偏離

{\delta n_{p\sigma } =n_{p\sigma } -n}_{p\sigma }^0

，將系統能量在

n_{p\sigma }^0

附近展開：

E\left(n_{p\sigma } \right)=E_0 +\sum_{p\sigma } \frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } }|_0 \delta n_{p\sigma } +\frac{1}{2}\sum_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } \frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } }|_0 \delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } +\cdot \cdot \cdot

即：

E\left(n_{p\sigma } \right)\approx E_0 +\sum_{p\sigma } \varepsilon_{p\sigma }^0 \delta n_{p\sigma } +\frac{1}{2}\sum_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } \delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }

其中，

\varepsilon_{p\sigma }^0 =\frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } }|_0

代表準粒子分佈平衡時的準粒子能量，此時並沒有考慮準粒子間的相互作用，

f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } =\frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } }|_0

是描述準粒子間相互作用的項。因而帶入準粒子能量定義式

\varepsilon \left(p\right)=\frac{\delta E}{\delta n\left(p\right)}

求得準粒子的能量：

\varepsilon \left(p\right)=\varepsilon_{p\sigma }^0 +\sum_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }

由於相互作用是透過絕熱加入的，所以FG 與FL 的熵是相同的，這就導致了FL 體系中準粒子的分佈函式與FG 的分佈函式相同，即Fermi-Dirac 分佈

n\left(p\right)=\frac{1}{e^{\left(\varepsilon \left(p\right)-\mu \right)/T+1} }

，在

T=0K

時分佈是一個階躍分佈，所以

\delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }=0

，則有：

\varepsilon \left(p\right)=\varepsilon_{p\sigma }^0 =E\left(p\right)-E_F \approx \frac{\partial \varepsilon_{p\sigma }^0 }{\partial p}|_{p=p_F } \left(p-p_F \right)=v_F \left(p-p_F \right)

這樣以來，對於FL我們只需要定義有效質量

m^{*}

（滿足

v_F =\frac{P_F }{m^* }

）代替FG中的

m

即可使用處理FG的思想來處理FL。這裡有一點需要注意：當準粒子能量的相互作用項中

\delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }

貢獻顯著時，需要考慮

f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime }}

的權重。對於各向同性的FL來說，

f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime }}

具有空間旋轉不變性和自旋旋轉不變性

f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } =f_{p^{\prime } \sigma^{\prime } p\sigma } =f_{\sigma \sigma^{\prime } } \left(\theta_{pp^{\prime } } \right)=f_{\sigma \sigma^{\prime } } \left(-\theta_{pp^{\prime } } \right)

，所有僅與動量

p^{\prime }

和

p

的夾角有關，可以用Legendre多項式展開：

N\left(0\right)f_{pp^{\prime } }^{s,a} =F_{pp^{\prime } }^{s,a} =\sum_{l=0}^{\infty } F_l^{s,a} P_l \left(\mathrm{cos}\theta_{pp^{\prime } } \right)

其中，

F_l^{s}

與

F_l^{a}

分別代表

f

對稱與反對稱情況下的Landau引數。由此可以看出Landau費米液體理論僅用有效質量

m^{*}

和幾個朗道引數就可以很好的描述相互作用體系的物理性質，是非常Useful理論。

參考書目：

［1］ Modern Condensed Matter Physics， S。 M。 Girvin and K。 Yang。

［2］ Theory of Quantum Many-body Systems， X。-G。 Wen。

［3］ Introduction to Many Body Physics， P。 Coleman。