半導體物理學習筆記（3）

第三章半導體中載流子的統計分佈（下）

4 雜質半導體（續）

上一次求出了可以解出費米能的一個方程（對n型半導體的），但是實在不好解，只能將溫度分割槽去做近似，看一看費米能變化的規律。

$N_c \exp\left( -\frac{E_c-E_F}{k_0T} \right)=N_v \exp\left( \frac{E_v-E_F}{k_0T} \right)+\frac{N_D}{1+2\exp\left( -\frac{E_D-E_F}{k_0T} \right)}\\$

按雜質電離、本徵激發的程度，將整個溫區劃分為“低溫弱電離區”、“中間電離區”、“強電離區”、“過渡區”、“高溫本徵激發區”五個部分。

（1）低溫弱電離區

此時溫度很低，只有少量的施主雜質發生電離，而本徵激發就更少了。於是有

$n_0=n_D^+ \ll N_D$

，也即

$\begin{align} N_c \exp\left( -\frac{E_c-E_F}{k_0T} \right)&=\frac{N_D}{1+2\exp\left( -\frac{E_D-E_F}{k_0T} \right)}\\ &=\frac{1}{2}N_D\exp\left( \frac{E_D-E_F}{k_0T} \right) \end{align} \\$

取對數化簡，有

$E_F=\frac{E_c+E_D}{2}+\left( \frac{k_0T}{2}\right)\ln\left( \frac{N_D}{2N_c} \right)\\$

以及電子濃度

$n_0=\left( \frac{N_DN_c}{2} \right)^{1/2}\exp\left( -\frac{E_c-E_D}{2k_0T} \right)\\$

可以看到，此時費米能隨溫度先升高後下降，而電子濃度隨溫度升高

（2）中間電離區

位於強電離區與低溫弱電離區中間的部分。此處隨著溫度升高雜質逐漸電離而費米能級逐漸下降。

（3）強電離區

此處大部分雜質都電離了，於是有

$n_0\approx n_D^+ \approx N_D$

，故

$N_c \exp\left( -\frac{E_c-E_F}{k_0T} \right)=N_D\\$

於是

$E_F=E_c+k_0T\ln\left(\frac{N_D}{N_c}\right)\\$

施主雜質全部電離，而本徵激發有可以忽略時，電子濃度與溫度無關，稱為飽和區

（4）過渡區

位於強電離區與高溫本徵激發區之間的部分稱為過渡區。此處雜質已全部電離，且本徵激發不可忽略，有

。可以解得

$E_F=E_i+k_0T \operatorname{arcsh}\left( \frac{N_D}{2n_i} \right)\\$

又

，有

$n_0=\frac{N_D}{2}\left[ 1+\left( 1+\frac{4n_i^2}{N_D^2} \right)^{1/2} \right]\sim N_D+\frac{n_i^2}{N_D}\\ p_0=\frac{n_i^2}{n_0}\sim \frac{n_i^2}{N_D}\\$